¿Puedes ayudarme a resolver este problema de álgebra?

Question

Hola, necesito solucionar este problema y no sé cómo. Te agradecería tu ayuda.

Si $x - \frac{ayz}{x^2} = y - \frac{azx}{y^2} = z - \frac{axy}{z^2}$ e $x\neq y\neq z$, a continuación, $$x - \frac{ayz}{x^2} = y - \frac{azx}{y^2} = z - \frac{axy}{z^2} = x + y + z - a$$

Yo creo que es necesario

$x^3 - ayz = x^2k$

$y^3 - azx = y^2k,$

$z^3 - axy = z^2k$

luego de multiplicar de ambos lados de la igualdad por una cierta cantidad, añadir todos juntos y factor, pero no sé cómo encontrar esa cantidad.

Answer 1

Denotar $k=xyz$ e $b$ el valor común de $x-\frac{ayz}{x^2}=y-\frac{azx}{y^2}=z-\frac{axy}{z^2}$. Podemos ver que la ecuación $$ t-\frac{ak}{t^3}=b\etiqueta{*} $$ is satisfied by $t=x,y,z$. Hence $x,y,z$ are distinct, non-zero roots of $(*)$. Note that $(*)$ puede ser escrita como una ecuación polinómica de grado 4 $$ t^4-b t^3-ak=0. $$ By Vieta's formula, the other root $p$satisface $$ x+y+z+w=b,\quad xyzw=-ak. $$ Since $k=xyz\ne 0$ se deduce que $$ w=-a=b-x-y-z, $$ por lo tanto tenemos $$ x-\frac{ayz}{x^2}= y-\frac{azx}{y^2}=z-\frac{axy}{z^2}=b=x+y+z-a. $$

Answer 2

$$x-\frac{ayz}{x^2}=y-\frac{axz}{y^2}$$da $$x-y+az\left(\frac{x}{y^2}-\frac{y}{x^2}\right)=0$$o $$1+\frac{az(x^2+xy+y^2)}{x^2y^2}=0.$$ Del mismo modo, $$\frac{ax(y^2+yz+z^2)}{y^2z^2}=-1$$y $$\frac{ay(x^2+xz+z^2)}{x^2z^2}=-1.$$ Por lo tanto, $$x^3(y^2+yz+z^2)=y^3(x^2+xz+z^2)$$o $$(x-y)(x^2y^2+xyz(x+y)+z^2(x^2+xy+y^2))=0$$o $$\sum_{cyc}(x^2y^2+x^2yz)=0$$o $$\sum_{cyc}z^2(x+y)^2=0,$$ which gives $$x+y=x+z=y+z=0$$o $$x=y=z=0,$$ lo cual es imposible.

Id est, el dado está mal, lo que dice que $$x - \frac{ayz}{x^2} = y - \frac{azx}{y^2} = z - \frac{axy}{z^2}\Rightarrow x - \frac{ayz}{x^2} = y - \frac{azx}{y^2} = z - \frac{axy}{z^2} = x + y + z - a$$ es cierto.