La probabilidad de $X_1 \geq X_2$

Question

Supongamos que $X_1$ y $X_2$ son variables aleatorias geométricas independientes con parámetros $p$ . ¿Cuál es la probabilidad de que $X_1 \geq X_2$ ?

Estoy confundido con esta pregunta porque no se nos dice nada sobre $X_1$ y $X_2$ aparte de que son geométricas. ¿No sería esto $50\%$ porque $X_1$ y $X_2$ puede ser cualquier cosa en el rango?

EDITORIAL: Nuevo intento

$P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2)$

$P(X1 = X2)$ = $\sum_{x}$ $(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}p$ = $\frac{p}{2-p}$

$P(X1 > X2)$ = $P(X1 < X2)$ y $P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1$

Por lo tanto, $P(X1 > X2)$ = $\frac{1-P(X1 = X2)}{2}$ = $\frac{1-p}{2-p}$
Añadiendo $P(X1 = X2)=\frac{p}{2-p}$ a eso, entiendo $P(X1 ≥ X2)$ = $\frac{1}{2-p}$

¿Esto es correcto?

Answer 1

No puede ser $50\%$ porque $P(X_1=X_2)>0$

Una aproximación:

Considere los tres eventos $P(X_1>X_2), P(X_2>X_1)$ y $P(X_1=X_2)$ que dividen el espacio de la muestra.

Hay una conexión obvia entre los dos primeros. Escriba una expresión para la tercera y simplifique. Por lo tanto, resuelve la cuestión.

Answer 2

Tu respuesta, siguiendo la sugerencia de Glen, es correcta. Otra manera, menos elegante, es sólo para condicionar:

\begin {alinear} \Pr\ {X_1 \geq X_2\} &= \sum_ {k=0}^ \infty \Pr\ {X_1 \geq X_2 \mid X_2=k\} \Pr\ {X_2=k\} \\ &= \sum_ {k=0}^ \infty \sum_ { \ell =k}^ \infty \Pr\ {X_1= \ell\ } \Pr\ {X_2=k\}. \end {alinear}

Esto te dará lo mismo $1/(2-p)$ después de manejar las dos series geométricas. El camino de Glen es mejor.