Demostrar que una función es integrable

Question

Dado que $f:[0, \infty] \to \mathbb{R}$ es decreciente con $\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ , demuestre que

$$I=\int_{0}^{1}\frac{\cos(\frac{1}{x})f(\frac{1}{x})}{x^2}dx$$ converge.

He pensado en utilizar la prueba de Dirichlet, pero sólo funciona si $f$ es continuamente diferenciable. Puede ser una integral impropia o no, depende de cómo $f$ está definido, por lo que algunas de mis otras ideas tampoco funcionaron. ¿Alguna idea?

Answer 1

Por Teorema de diferenciación de Lebesgue una función decreciente es diferenciable en casi todas partes, por lo que para cualquier $\varepsilon >0$ $$ \int_{\varepsilon}^{1}\frac{f(1/x)\cos(1/x)}{x^2}\,dx = \int_{1}^{1/\varepsilon}\cos(x)\,f(x)\,dx$$ y podemos aplicar la integración por partes/ Prueba de Dirichlet . No importa realmente que $f'(x)$ no está definida en algunos puntos, y no necesitamos la continuidad de $f'$ .