¿Por qué necesitamos una integral para demostrar que $\frac{22}{7} > \pi$ ?

Question

Conocemos esta famosa (y hermosa) integral que muestra que $\dfrac{22}{7} > \pi$ como :

$$0 < \int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} \, dx = \frac{22}{7} - \pi$$ Ahora como el integrando es positivo, por lo tanto: $$\dfrac{22}{7}-\pi>0$$ $$\color{blue}{\dfrac{22}{7}>\pi}$$

---

Aunque puedo ver su belleza, ¿por qué es necesario para demostrar que $\dfrac{22}{7} > \pi$ ?

¿No podemos decir que :

$$\dfrac{22}{7}=\color{red}{3.142}857142857142857\cdots = 3. \overline{142857}$$ $$\pi =\color{red}{3.141}592653589793238\cdots$$

¿Y por eso es mayor?

---

¡Gracias!

Answer 1

La cuestión es que $\pi$ suele definirse como la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, y no como un valor numérico concreto. Se puede calcular el valor numérico de $\pi$ con cierta precisión (incluso arbitraria) de muchas maneras, pero esta integral en particular ofrece una forma rápida de dar un límite superior fácil pero relativamente ajustado a su valor utilizando medios esencialmente geométricos, es decir, utilizando la definición anterior de $\pi$ : La aparición de $\pi$ en el valor de esta integral proviene de la aparición de la función arctangente en la antiderivada del integrando, y esto mismo se deduce rápidamente de las definiciones del círculo unitario de ciertas funciones trigonométricas.

Obsérvese también que se puede obtener rápidamente un límite inferior barato pero bueno en $\pi$ comparando con una función similar: $$\frac{22}{7} - \pi = \int_0^1 \frac{x^4 (1 - x)^4}{1 + x^2} dx < \int_0^1 x^4 (1 - x)^4 dx = \frac{1}{630} .$$ Reordenando se obtiene que $$3.14126 \ldots = \frac{1979}{630} < \pi < \frac{22}{7} = 3.14285 \ldots ,$$ y utilizando el punto medio de estos límites se obtiene una estimación para $\pi$ seguro de ser preciso con una precisión de $\frac{1}{1260} < 10^{-3}$ .

Aplicando el mismo tipo de consideraciones a las integrales $$\int_0^1 \frac{x^{4 n} (1 - x)^{4 n}}{1 + x^2} dx$$ para números enteros más grandes $n$ da aún mejor (y, para $n$ no demasiado grandes, todavía relativamente eficientes) aproximaciones. Por ejemplo, $n = 2$ rinde $$3.1415917 \ldots = \frac{47171}{15015} < \pi < \frac{3849155}{1225224} = 3.1415928 \ldots ,$$ lo que produce una estimación precisa dentro de $10^{-6}$ .

Answer 2

Según tus prioridades, un problema de tu explicación es que hay detalles que se esconden en cómo los matemáticos encontraron los dígitos de $\pi$ en primer lugar. Si explicitamos esos detalles, lo que obtenemos es que tenemos unas series ( muchas opciones diferentes servirán ) $$\pi = \sum_{i=0}^\infty a_i$$ y una forma de acotar nuestro error, por lo que $$\left|\pi - \sum_{i=0}^n a_i\right| < E_n.$$ Si queremos saber $\frac{22}{7} > \pi$ explícitamente, podemos calcular $E_n$ y $\sum_{i=0}^n a_i$ para valores sucesivamente mayores de $n$ hasta que tengamos eso $\frac{22}{7}$ supera $\sum_{i=0}^n a_i$ por más que el error $E_n$ .

Buscando dígitos de $\pi$ en el ordenador o en una calculadora, estás haciendo lo mismo, buscando aproximaciones previamente calculadas donde el valor de $n$ es lo suficientemente grande como para que $E_n$ está dentro del error de redondeo para el número de dígitos que hayas pedido.

Answer 3

No. No podemos $\text{“}\,$ sólo decir que $\pi=3.141592653589793238\ldots\,{}\text{''}$ . Eso requiere pruebas. ¿Cómo podemos saber que $\pi=3.141592653589793238\ldots$ sin hacer mucho más trabajo que calcular esa integral?

Answer 4

Si puede derivar

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$

entonces puede extraer $\pi<(22/7)$ a través de una prueba de comparación. Sin embargo, hay que tener un poco de paciencia.

En primer lugar, separe el $n=1$ a través de $n=4$ términos:

$\dfrac{\pi^2}{6}-\dfrac{205}{144}=\displaystyle \sum_{n=5}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$

Entonces tenemos

$\dfrac{1}{n^2}<\dfrac{1}{(n-\frac{1}{2})(n+\frac{1}{2})}=\dfrac{1}{(n-\frac{1}{2})}-\dfrac{1}{(n+\frac{1}{2})}$

$\dfrac{\pi^2}{6}-\dfrac{205}{144}<\displaystyle \sum_{n=5}^{\infty}\left(\dfrac{1}{(n-\frac{1}{2})}-\dfrac{1}{(n+\frac{1}{2})}\right)$

La última suma de telescopios para $2/9$ . Por lo tanto,

$\dfrac{\pi^2}{6}<\dfrac{205}{144}+\dfrac{2}{9}$

$\pi^2<\dfrac{79}{8}$

Y luego

$\left(\dfrac{22}{7}\right)^2=\dfrac{484}{49}=\dfrac{\color{#0055ff}{3872}}{392}$

$\dfrac{79}{8}=\dfrac{\color{#0055ff}{3871}}{392}$