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Esta pregunta se refiere a Tarski los axiomas de la geometría Euclidiana, no los axiomas de Hilbert. Se dice en la misma página (Teorema 3.1 -- véase también esta relacionada con la pregunta acerca de las Matemáticas.SE) que:
Para cada modelo de Plano Euclidiano de la Geometría (el uso de Tarski del axiomas) no es un verdadero campo cerrado $R$ tal que $M \cong R \times R$ como modelos.
De lo que deduzco de nLab la página de real de campos cerrados, estos son estrictamente más general que el de los números reales, por ejemplo el real números algebraicos es también un verdadero campo cerrado.
Sin embargo, el verdadero números algebraicos no métrico completo. (Creo.) En otras palabras, no todas secuencia de Cauchy converge.
Pregunta: ¿Cómo puede un verdadero campo cerrado, que no métrico completo, servir como un modelo para Euclidiana geometría del plano?
En particular, ¿cómo puede el real algebraica de los números de servir como un modelo para la geometría Euclidiana?
Por ejemplo, un campo no pueden expresar la relación de la circunferencia de un círculo a su diámetro en el plano Euclidiano de la geometría desde $\pi$ es trascendental y por lo tanto, sólo en la métrica de la finalización de los números racionales, pero no el (real) algebraica de finalización.
Uno de Tarski del axiomas se describe en el nLab página como un "Dedekind corte axioma expresa en términos de primer orden". Si no recuerdo análisis real correctamente, Dedekind recortes permiten construir la métrica de la terminación de los números racionales (los números reales).
Así, si uno de Tarski del axiomas implica métrica integridad (¿no? si no, ¿por qué no?), entonces, ¿cómo puede el real algebraica de números, que no son métrico completo (creo) servir como modelo?
No estoy seguro de si el Cantor-axioma de Dedekind es uno de Tarski de axiomas o de la misma como la ya mencionada "Dedekind corte axioma". Si Tarski los axiomas de no requerir un métricamente completar el espacio, entonces, es el Cantor-axioma de Dedekind generalmente no válido para los modelos de Tarski los axiomas?
Las respuestas a esta pregunta relacionada parecen sugerir que $\mathbb{Q}$ es insuficiente para la geometría Euclidiana, la cual tiene sentido ya que los $\mathbb{Q}$ no es real cerrada. Sin embargo, es claro a partir de las respuestas dadas si los problemas con $\mathbb{Q}$ surgir sólo debido a la no existencia de algebraica de los números irracionales (por ejemplo,$\sqrt{2}$) o también debido a la no existencia de trascendental números irracionales, $\pi$. Esto último implicaría que el real números algebraicos son también insuficientes para la geometría Euclidiana.
También, uno de los axiomas dados para Euclidiana geometría del plano (en la p. 171, M. 2) en Agricola, Friedrich Elementales de la Geometría es que el avión es un espacio métrico completo. Yo había asumido que estos axiomas eran sólo una (posiblemente menos rigurosos) reformulación de Tarski de axiomas, pero si no completa de métricas de los espacios, también sirven como modelos para la geometría Euclidiana, parece que este axioma es una invención/además de los autores, que quizás debería haber sido mencionado explícitamente.
