Relación entre el área de un triángulo en una esfera y un plano

Question

Sabemos que el área de un triángulo plano $\Delta=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ donde $s=\frac{a+b+c}{2}$.

Yo estaba pensando: supongamos que tenemos un triángulo con la longitud del arco $a,b,c$ sobre una esfera de radio $r$, ¿tenemos el mismo tipo de fórmula para que el esférico triángulo? cuando el radio de $r\to \infty$ obtenemos el avión, así que lo que hacemos tiene alguna estimación de área de triángulo esférico al $r\to\infty$?

Cualquier referencia y enlace del artículo también son bienvenidos! Gracias.

Answer 1

Fuente: Este El Dr. Math Artículo

Novato aquí, así que disculpen los errores. La relación debe ser:

$$ \frac{ 180 \cdot \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } } { 4 \cdot \pi \cdot R^2 \cdot \arctan \left( \sqrt{ \tan \left( \frac{s}{2} \right) \cdot \tan \left( \frac{s}{2} \right) \cdot \tan \left( \frac{s-b}{2} \right) \cdot \tan \left( \frac{s-c}{2} \right) } \right) } $$

Aún necesita un poco de simplificación, aunque...

Básicamente, acabo de poner fórmula de Herón para el área de planar $\Delta$s por encima de la $\frac{ \pi \cdot R^2 \cdot E}{180}$ fórmula del área de un esférico $\Delta$. Ya no tengo el angulares medidas necesarias para calcular el $E$, he utilizado esta fórmula:

$$ \tan \left( \frac{E}{4} \right) = \sqrt{ \tan \left( \frac{s}{2} \right) \cdot \tan \left( \frac{s-a}{2} \right) \cdot \tan \left( \frac{s-b}{2} \right) \cdot \tan \left( \frac{s-c}{2} \right) } $$