¿Qué clases de polígonos son equivalentes a la transformación afín?

Question

Vamos a llamar a dos figuras planas "equivalentes" si cada uno de ellos es una transformación afín de la otra. ¿Cuáles son las clases de equivalencia de la convexo figuras en el plano?

Algunas de las clases que he encontrado son:

• Todas las elipses;
• Todos los triángulos;
• Todos los paralelogramos.

Sin embargo, no todos los cuadriláteros son de la misma clase. Por ejemplo, un trapecio no es equivalente a una parallellogram, ya que el primero tiene sólo un par de lados paralelos mientras que el segundo tiene dos, y se sabe que afín de preservar el paralelismo. Por otra parte, una convexidad no puede ser equivalente a la de un no-convexidad, desde afín de preservar la convexidad.

Así que mis preguntas son:

• ¿Cuáles son las clases de equivalencia de todos los cuadriláteros? (¿cuántas clases hay? Si hay infinitamente muchos, de cómo muchos de los parámetros necesarios para caracterizar de ellos?)
• ¿Cuáles son las clases de equivalencia de todos los polígonos convexos con $n$ vértices?

Answer 1

Voy a estar considerando etiquetados cuadriláteros convexos $Q$ en el plano afín ${\mathbb A}^2$ con vértices $A, B, C, D$. Dos cuadriláteros $Q=ABCD, Q'=A'B'C'D'$ son afines-equivalentes si existe una transformación afín $T$ que envía a $A\mapsto A', B\mapsto B', C\mapsto C', D\mapsto D'$. Asimismo, respecto a ${\mathbb A}^2$ como afín parche en el real proyectiva avión ${\mathbb P}^2$, podemos definir projectively equivalente cuadriláteros, permitiendo transformaciones proyectivas de ${\mathbb P}^2$.

Ahora, observa que el grupo afín $Aff({\mathbb A}^2)$ actúa simplemente transitivamente en el conjunto de los no-alineados tripletas de puntos en ${\mathbb A}^2$. Por lo tanto, la fijación de tres puntos en posición general $A_0, B_0, D_0\in {\mathbb A}^2$, cada cuadrilátero convexo en ${\mathbb A}^2$ es afín-equivalente a un cuadrilátero de la forma $A_0B_0CD_0$ donde $C$ se encuentra en un abrir ilimitado convexa de la región de $R$ en el plano afín, delimitada por las líneas de $A_0B_0, B_0D_0$$A_0D_0$. Por lo tanto, el espacio afín de clases de equivalencia (con su favorito de la topología) es homeomórficos a la región de $R$, lo que, a su vez, es homeomórficos a los afín propio avión.

Por otro lado, si tenemos en cuenta los cuadriláteros hasta proyectiva de equivalencia, podemos utilizar el hecho de que el pointwise estabilizador de $\{A_0, B_0, D_0\}$ $PGL(3, {\mathbb R})$ actúa simplemente transitivamente en la región de $R$. Para ver esto, identificar la línea de $B_0D_0$ con la "línea al infinito" en el plano proyectivo e identificar el complemento a esta línea con el plano afín. A continuación, el estabilizador de
$\{A_0, B_0, D_0\}$ $PGL(3, {\mathbb R})$ se identifica con el grupo de la diagonal de las matrices (donde $A_0$ sirve como el origen en el plano afín y las líneas $A_0B_0$, $A_0D_0$ servir como ejes de coordenadas; la región de $R$ se convierte en un abrir coordinar cuadrante). Desde el grupo de la diagonal de transformaciones lineales actos simplemente transitivamente en cada una de las coordenadas cuadrante, la reclamación de la siguiente manera. Por lo tanto, hasta proyectiva de equivalencia, no es exactamente un cuadrilátero convexo.

Más generalmente, el espacio de la convexo $n$-ágonos modulo proyectivo de equivalencia es homeomórficos al abrir $2(n-4)$-dimensiones de la bola. si sólo se consideran modulo afín de equivalencia, se obtiene el abra $2(n-3)$-dimensiones de la bola.