¿La norma$ L^{p}$$[0,1]$ es continua en p?

Question

Me encontré con el siguiente problema, cuando yo estaba haciendo mi tarea y no tengo pensamientos en donde debo comenzar con:

(1) Si $f\in L^{2}$, muestran que $\displaystyle \lim_{p \rightarrow 1^{+}}\int_{[0,1]}|f|^{p}=\int_{[0,1]}|f|$

(2) Si $0&ltp$, muestran que $\displaystyle \lim_{q\rightarrow p^{-}}||f||_{q}=||f||_{p}$

Mi primer pensamiento fue Generalizada LDCT, pero no parece funcionar. También hice algunos intentos pero ninguno de ellos tuvieron éxito... ¿alguien Puede darme algunos consejos sobre cómo debo vistazo a esta pregunta?

También, sé que si $p\rightarrow\infty$$||f||_{p}\rightarrow||f||_{\infty}$$[0,1]$, pero similar continuidad en p tiene para otros $L^{p}[0,1]$ normas en general?

Gracias!

Editar:

Disculpen si no es lo suficientemente claro en la pregunta. Todos los $L^{p}$ se refiere a $L^p[0,1]$.

La primera pregunta que se encuentra aquí (gracias a t.b.), pero la segunda pregunta sigue siendo, principalmente debido a $f$ no está garantizada en cualquier $L^{p}$.

Answer 1

Estaba pensando en esto: si $q&ltp$ y $f \in L^p(0,1)$ y $f \in L^q(0,1)$. A desigualdad de Hölder. En el caso de (2), usted tiene que considerar dos casos: (i) $f \in L^p$ y $|f|_p=+\infty$.

Answer 2

Para (2), ha abordado todos los casos excepto$f \notin L^p$ con$p &lt \infty$. Como$q \to p^-$, tenemos$|f|^q \to |f|^p$ en sentido puntual, así que por el lema de Fatou$$\liminf_{q \to p^-} \int |f|^q \ge \int |f|^p = \infty.$ $ Esto significa$\int |f|^q \to \infty$ como$q \to p^-$. Poner los poderes de$1/q$ de nuevo se deja como un ejercicio :)