Derivado general de$\text{sinc}(x)$

Question

Estoy intentando encontrar una fórmula general para el$n$ - derivado de la siguiente función $$ \ frac {\ sin (x)} {x} $$

He calculado las primeras cinco derivadas hasta ahora sin encontrar ninguna "estructura" en ellas.

Answer 1

Considere$$F(x) = \dfrac{\exp(ix)}{x}$ $ Entonces$$\dfrac{d^n}{dx^n} F(x) = P_n(1/x) \exp(ix)$ $ donde$$-t^2 P_n'(t) + i P_n(t) = P_{n+1}(t)$ $

EDITAR:

Si escribimos$P_n(t) = Q_n(t) + i R_n(t)$ donde$Q_n$ y$R_n$ tienen coeficientes reales, entonces

PS

Una función generadora exponencial proviene de la serie de Taylor.

PS

Es decir

PS

Queremos las partes reales e imaginarias, por lo que

$$ \ eqalign {\ dfrac {s \ cos (t)} {1 + st} & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ dfrac {t ^ n} {n!} Q_n (s) \ cr \ dfrac {s \ sin (t)} {1 + st} & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ dfrac {t ^ n} {n!} R_n (s)} $$

Answer 2

General de la regla de Leibniz $$ \frac{d^n}{dx^n}f(x)g(x) = \sum \left(\matriz{n \\ k}\right)\frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}f(x)\frac{d^k}{dx^k}g(x) $$ vamos $$ f(x) = \frac{1}{x}\\ g(x) = \sin(x) =\mathcal{I}\left(\mathrm{e}^{ix}\right) $$ (con @RobertIsrael respuesta) por lo tanto $$ \frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}\frac{1}{x} = (-1)^{n-k}\frac{(n-k)!}{x^{n-k+1}}\\ \frac{d^k}{dx^k}\mathcal{I}\left(\mathrm{e}^{ix}\right) = \mathcal{I}\left(i^k\mathrm{e}^{ix}\right) $$ así $$ \frac{d^n}{dx^n}\frac{\sin x}{x} = \mathcal{I}\left[\sum \left(\matriz{n \\ k}\right)(-1)^{n-k}\frac{(n-k)!}{x^{n-k+1}}\left(i^k\mathrm{e}^{ix}\right)\right]\\ = \mathcal{I}\left[\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}(-1)^n(-i)^k\frac{\mathrm{e}^{ix}}{x^{n-k+1}}\right] $$

Answer 3

Si está feliz de aceptar integrales en su fórmula general, entonces una expresión realmente simple (a través de TAE) es \begin{align} \frac{d^{n}}{dx^{n}}\mathrm{sinc}(x) =\frac{d^{n}}{dx^{n}}\int_{-1}^{1}e^{ikx}\, \mathrm{d}k = \int_{-1}^{1}(ik)^{n}e^{ikx}\, \mathrm{d}k \end {align}