¿Por qué queremos que los anillos de dedekind sean cerrados integralmente?

Question

Como yo lo entiendo, la idea de dominios de Dedekind es motivado por el deseo de factorizar ideales en primer ideales. Dedekindrings se supone que:

• ser notherian, lo cual tiene sentido, ya que asegura que la factorización es finito

• tienen todo el primer ideal para ser un ideal maximal, lo cual tiene sentido porque queremos factorizar en primer ideales, por lo que deben ser "muy" grande.

• integral y cerrado.

¿Alguien puede darme una idea intuitiva acerca de por qué tenemos esa propiedad?

Answer 1

Una de las cosas que usted desea en Dedeking anillos es que usted tiene buenos ideales factorización propiedades. En particular, la multiplicación por un valor distinto de cero ideal debe ser inyectiva.

Supongamos $R$ es un anillo conmutativo. Veamos un elemento $x/y$ de su campo de fracciones que pasa a ser una solución de una monic ecuación polinómica :

Deje $x,y \in R$ $a_k \in R$ $k=0 \ldots n-1$ y supongamos que la ecuación $x^n = \sum a_k x^k y^{n-k}$ es cierto.

Ahora considere el $I = (x,y)$, el ideal generado por a$x$$y$. A continuación, $I^n = (x^n,x^{n-1}y, \ldots, xy^{n-1},y^n)$. Pero, debido a que la ecuación, el primer generador es superfluo, y por lo $I^n = (x^{n-1}y,\ldots, xy^{n-1},y^n)$. Si usted mira este ideal cuidadosamente, usted consigue $I^n = (y)I^{n-1}$.

Ahora, si desea que su ideales para tener buenos de la factorización de propiedades, y si $I$ es distinto de cero que usted desearía $(y) = I$. Desde $I = (x,y)$, esto es equivalente a $x \in (y)$, por lo que existe una $z \in R$ tal que $x=yz$, o también que $x/y \in R$.

Por lo tanto, si usted desea agradable ideal factorisations, usted necesita $R$ a ser integralmente cerrado.

(la comprobación de que un par de ideales factor como se debe es también lo que yo hago cuando quiero comprobar si un anillo es integralmente cerrado)

También, wikipedia listas diversas definiciones alternativas, algunas de las cuales situar el foco sobre el ideal de la factorización :
"cada apropiado ideal factores primos"
"cada distinto de cero fraccional ideal es invertible"

Aquellos que pueden ser más de su agrado.

Answer 2

Integral de cierre es necesario para obtener la factorización de los ideales en los productos de primer ideales.

Consideremos el anillo de $R=k[t^2,t^3]$ donde $k$ es de campo y $t$ es indeterminado. El ideal de $P=(t^2,t^3)$ es primo, se compone de los polinomios en la $R$ que se desvanecen en $t=0$. También es un ideal maximal porque $R/P\simeq k$ es un campo.

Vemos que el ideal de $I=(t^3,t^4)$ está contenido en $P$. Sin embargo, no es el poder de $P$ ($P^2=(t^4,t^5)$ ya es un subconjunto de a $I$). De ello se deduce fácilmente que el $I$ no es un producto de primer ideales de $R$.

Por supuesto, el paso a la integral de cierre de $\overline{R}=k[t]$ en el campo de fracciones de $R$ corrige este problema. Luego de la pertinente primer ideal es $\mathfrak{p}=(t)$ y el tanto $(t^2,t^3)=(t^2)$ $(t^3,t^4)=(t^3)$ se convierten en potencias de $\mathfrak{p}$.

Cosas similares suceden con los no-máxima de los pedidos de los campos de número.

---

(Extras) he utilizado el anillo de $R$ como un ejemplo porque me permite señalar la siguiente conexión. Es decir, el anillo de $R$ es isomorfo al anillo de coordenadas $\Gamma(C)$ del plano de la curva de $C:y^2=x^3$, $$\Gamma(C)=k[x,y]/(y^2-x^3),$$ el isomorfismo dada por $y\mapsto t^3$, $x\mapsto t^2$. Aquí la integral, no de cierre de la muestra geométricamente en la cúspide en el origen $O=(0,0)$. Mediante el cálculo de las derivadas parciales de $y^2-x^3$ en el origen se puede ver que el origen no es un punto suave (= un punto en el teorema de la función implícita se puede aplicar). Es un hecho que un avión de la curva definida por una ecuación polinomial no tiene puntos singulares si y sólo si sus coordenadas anillo es integralmente cerrado (cuando se convierte en un dominio de Dedekind).