¿Contar raíces con multiplicitos es un concepto geométrico?

Question

Es bien sabido que un polinomio de grado $n$ admite $n$ raíces, cuando el campo es algebraicamente cerrado. Sin embargo, este viene con una advertencia, en particular, que las raíces son contadas con multiplicidad.

Desde un punto de vista algebraico, contando a las raíces de multiplicidad es muy natural: Si una raíz de $\alpha_i$ tiene multiplicidad $m_i$, entonces podemos factorizar el polinomio como $a \displaystyle \prod_{i=1}^l (x - \alpha_i)^{m_i}$.

Sin embargo, esto es insuficiente para mí, desde que se introdujo por primera vez a las raíces de un polinomio como un concepto geométrico: en el caso real, es de los lugares donde la curva cruza el $x$-eje. Por lo tanto, cuando nos fijamos en el teorema desde una perspectiva puramente geométrica punto de vista, sin mirar el subyacente algebraicas marco, el teorema se convierte en mucho menos interesante: el polinomio de grado $n$ admite $n$ raíces, pero puede parece admitir menos si algunas de esas raíces sucede que tiene multiplicidad mayor que uno.

Mi pregunta es, ¿hay alguna relación geométrica entre una raíz y de su multiplicidad, que nos permiten ver toda la fuerza del teorema (la existencia de $n$ raíces), sin depender de la subyacente estructura algebraica del polinomio? Dicho de otra forma, podemos mirar el gráfico/imagen de un polinomio y determinar cuántas raíces tiene (sin recurrir a los argumentos acerca de su grado e inferir el número de raíces de eso)?

Tenga en cuenta que mi pregunta puede ser aplicado también a algo como el teorema de Bezout, donde las curvas planas de grado $m$, $n$ se cruzan $mn$ veces, suponiendo que las intersecciones son contados con su multiplicidad. La condición de que sean contados con su multiplicidad es aún más decepcionante para el geométrica de la naturaleza aquí.

Answer 1

Considere la función $f(z)=z^n$. Como usted ve alrededor de un pequeño contorno alrededor de $z=0$ $n$veces cero de $f$, $f(z)$ "que va," $0$ en el plano complejo $n$ veces. El mismo será cierto para cualquier holomorphic función de con $n$veces cero en algún momento (lo que significa que es cero allí junto con su primera $n-1$ derivados). Esta multiplicidad de los ceros es por lo tanto conectado a invariantes topológicos, tales como la liquidación número. También está relacionada con la noción de grado de una asignación, que voy a tratar de explicar el análisis de ejemplo de polinomios en el plano complejo. Si usted tiene $n$-ésimo polinomio de orden $g(z)$ e ir con $z$ alrededor de un enorme contorno que contiene todos los ceros de $g$ en el interior, a continuación, $g(z)$ se envuelven alrededor de plano complejo $n$ veces. Se puede demostrar que las funciones con esta propiedad (que hay que ser más rigurosamente definido, pero sólo estoy tratando de dar la idea), debe tener $n$ ceros contar con multiplicidades. Teorema Fundamental del álgebra sigue de esto. Es crucial que usted cuente con multiplicidades por la siguiente razón: grado de una asignación que le dice cuánto usted "envoltura alrededor en total". La multiplicidad de un cero le dice "¿cuánto te envuelva alrededor cuando usted va alrededor de este cero". Por lo tanto la suma de las multiplicidades debe ser igual grado. Para los polinomios de grado es el mismo que el orden del polinomio. Pero la idea de un grado es mucho más general y se aplica a la función continua entre espacios compactos. Plano complejo en sí no es complact pero puede ser fabricado de forma compacta mediante la adición de un "punto en el infinito", su promoción a la famosa esfera de Riemann.