¿Es una norma una función continua?

Question

¿Es una norma sobre un conjunto una función continua con respecto a la topología inducida por la norma?

¿Hay una topología sobre el conjunto que pueda hacer continua la norma (es decir, la topología que es compatible con la norma) que no sea única? ¿Es un superconjunto de la topología única inducida por la norma?

Hago esta pregunta, porque he oído (tampoco estoy seguro de que sea correcto) que una topología que puede hacer que un producto interior sea continuo no es única (tal topología se llama topología débil en el espacio del producto interior ), y es un superconjunto de la topología inducida por el producto interior.

¡Gracias y saludos! Se agradece que nos indiquen algunas referencias.

Answer 1

Me parece más limpio pensar en términos de Lipschitzness, en lugar de la $\varepsilon$ - $\delta$ definición de continuidad.

Dejemos que $(X, d)$ sea un espacio métrico.

1. Para cualquier $a \in X$ el mapa $d (a, \cdot) : X \to \mathbb R$ es Lipschitz, y por lo tanto es continua.

2. El mapa $d : X \times X \to \mathbb R$ es Lipschitz respecto a la métrica del producto y, por tanto, es continua.

Demostraré (2.) y dejaré (1.) como un ejercicio más sencillo. (De hecho, (2.) también implica directamente (1.).) Fijar $(x, y), (z, w) \in X \times X$ . Entonces $$ \begin{array}{rll} |d(x,y) - d(z,w)| &\leqslant |d(x,y) - d(z,y)| + |d(z,y) - d(z,w)| & \\ &\leqslant d(x, z) + d(y, w) & \text{(triangle inequality on } d \text{)} \\ &\leqslant 2 \max \{ d(x, z) , d(y, w) \} & \\ &= 2 d_{\infty} ((x, y) , (z, w)), & \end{array} $$ demostrando que $d$ es Lipschitz. (Aquí hemos asumido la métrica "max" en el producto ; ciertamente son posibles otras opciones, pero resultan ser equivalentes).

Volviendo a la pregunta del OP, para demostrar que una norma sobre un espacio lineal es continua con respecto a sí mismo, observe que el espacio lineal es también un espacio métrico con $d(x,y) = \| x - y \|$ . En otras palabras, $\| x \|$ es sólo la distancia de $x$ desde el origen; por tanto, aplicando el punto (1.) anterior (con $a = 0$ ) muestra la continuidad de la norma.

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Un punto para reflexionar: Normas equivalentes. La discusión anterior podría sugerir que la continuidad de una norma no es algo interesante de estudiar. Sin embargo, esta cuestión puede modificarse un poco para dar lugar a un concepto bastante fructífero:

Dadas dos normas $\| \cdot \|_1$ y $\| \cdot \|_2$ en un espacio lineal $X$ ¿son continuas entre sí? Es decir, cuando $\| \cdot \|_1$ es vista como una función, es continua con respecto a la norma $\| \cdot \|_2$ ¿y viceversa?

Se puede demostrar que esto es cierto si y sólo si existen números $0 < \alpha \leqslant \beta < \infty$ tal que $$ \alpha \| v \|_1 \leqslant \| v \|_2 \leqslant \beta \| v \|_1 $$ para todos los vectores $v$ . En este caso, decimos que las dos normas son equivalentes .

Answer 2

Sí, la norma es continua.

Consideremos un espacio normado $X$ con norma $\| \cdot \|:X \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ . Sea $O$ sea un subconjunto abierto de $\mathbb{R}$ y que $P = \{ x \in X \;|\; \|x\| \in O \}$ (la imagen inversa de $O$ ). Supongamos que $x_0 \in P$ . Entonces tenemos que $c_0=\|x_0\| \in O$ (ya que $x_0$ está en la imagen inversa de $O$ ). A continuación, dado que $O$ es abierto, existe algún $\epsilon >0$ tal que $(c_0-\epsilon,c_0+\epsilon) \subseteq O$ . Por lo tanto, si $y \in X$ y $c_0-\epsilon < \| y \| < c_0+\epsilon$ (es decir $\|y\|\in(c_0-\epsilon,c_0+\epsilon)\subseteq O$ ), entonces $y \in P$ . Por lo tanto, considere $y \in B_\epsilon(x_0) = \{ z \in X \;|\; \|z-x_0\|<\epsilon \}$ (la bola abierta de radio $\epsilon$ centrado en $x_0$ ). Tenemos $|\|y\|-\|x_0\|| \leq \|y-x_0\| < \epsilon$ así $|\|y\|-c_0|<\epsilon$ . Por lo tanto, $\|y\| \in (c_0-\epsilon,c_0+\epsilon)$ . Así, $\|y\| \in O$ así que $y \in P$ . Por lo tanto, $B_{\epsilon}(x_0) \subseteq P$ así que $P$ es abierta. Por tanto, la norma es continua.

Por cierto, las pruebas de que una métrica es un mapa continuo cuando se utiliza la topología inducida por la métrica y de que un producto interno es un mapa continuo cuando se utiliza su topología correspondiente son esencialmente las mismas. :)

Para su otra pregunta: Si eliges cualquier topología $\mathcal{T}$ en $X$ tal que $B_\epsilon(x_0) \in \mathcal{T}$ para todos $x_0\in X$ y $\epsilon>0$ La norma seguirá siendo continua. En otras palabras, cualquier topología más fina seguirá haciendo que la norma sea continua. Así que "No" la topología proveniente de la norma no es necesariamente la única que hace que la norma sea continua. Por ejemplo, consideremos $\mathcal{T}=\mathcal{P}(X)$ (el conjunto de poderes de $X$ ). Esta topología (discreta) hace que cada ¡mapa continuo!