Entendiendo el arte de la electrónica explicación matemática para capacitores

Question

El autor menciona que el lector no debe preocuparse si no se puede mantener con las matemáticas, sin embargo siento incómodo hacerlo. El problema es el hecho de que el autor no explica qué es la matemática de las variables son por tanto me gustaría que alguien que entiende a aclarar. El dar el siguiente circuito

^{simular este circuito – Esquema creado mediante CircuitLab}

Se menciona que en el tiempo = 0 la ecuación para la corriente es $$I = C{dv\over{dt}} = {V_i - V \over {R}}$$ El autor no especifica lo que V_i o V son. Sin embargo, puedo concluir que sería necesario restar el voltaje suministrado por la batería, el voltaje del condensador. V_i es la fuente de voltaje, V es el voltaje en el condensador. Después se define la V (voltaje del condensador) como $$V=V_i+Ae^{-t\over{RC}}$$ What confused me here is what the term V_i was doing in the expression for the initial voltage across the capacitor or does V_i stand for something else? also what does A signify? As the author then states that A is determined by initial conditions V=0 ,t=0. A will be equal to -V_i so then $$I={V_i -(V_i + (-V_i * e^{-t/RC})\over{R}} = {V_i * -e^{-t/RC}\over{R}}$$ en este punto he perdido la pista de la intuición detrás de ella y si alguien podía caminar a través de mí lo que el autor quiere decir, o en realidad sólo la intuición detrás de las matemáticas, yo estaría muy agradecido.

Answer 1

En primer lugar, usted debe ser consciente de que el tratamiento de la teoría de circuitos en El Arte de la Electrónica es muy breve. Un circuito real análisis de libros de texto cubriría constantes de tiempo en mucho más detalle, y dar más ejemplos.

Su circuito aparece la Figura 1.31 a partir de la sección 1.13. Usted se fue apagado el interruptor y las condiciones iniciales, y el etiquetado de la fuente de voltaje. La batería es de $V_i$, no $V_1$. He aquí una versión corregida:

^{simular este circuito – Esquema creado mediante CircuitLab}

Es implícita (pero no se indica) que el condensador se descarga en t = 0, de modo que V se inicia en cero voltios. Con el interruptor abierto, no hay ningún camino de DC de V a tierra, por lo que tenemos que hacer una suposición como este.

Una vez que el interruptor está cerrado, la corriente puede empezar a fluir. La matemática de la forma de abordar esta es escribir una ecuación mediante Kirchhoff de la Ley Actual (KCL). Debido a que el condensador, esta será una ecuación diferencial de primer orden:

$$current\ out\ of\ V_i = current\ into\ C$$ $$\frac{V_i - V}{R} = C\frac{dV}{dt}$$

(Una ecuación diferencial es una ecuación con una tasa de cambio. Aquí, $\frac{dV}{dt}$ es la tasa de cambio de V con respecto al tiempo.) Usted puede entonces resolver esto para obtener una ecuación de la forma:

$$V = V_i + Ae^{-t/RC}$$

donde e es la base del logaritmo natural (~2.718) y es una incógnita constante. Usted puede resolver por el constante uso de su condición inicial de $V_{t=0} = 0$.

Una forma alternativa de ver las cosas, es decir que un condensador actúa como un circuito abierto en DC, y como un corto circuito cuando el voltaje en el circuito están cambiando rápidamente. En el instante de cerrar el interruptor, tenemos un cambio rápido -- $V_i$ es de repente se apliquen a la vez. El condensador actúa como un corto a tierra, por lo que la corriente es $V_i/R$. Después de un largo tiempo, la tensión se ha estabilizado y que efectivamente tienen un circuito de corriente continua. El condensador actúa como un circuito abierto, por lo que $V = V_i$ y no fluye corriente.

La transición entre estos dos estados en un decaimiento exponencial. Esto significa que la ecuación para V tendrá un término de $e^{-t/\tau}$, donde $\tau$ (tau), llamada la "constante de tiempo", determina la tasa de descomposición. En t = 0, este término exponencial es igual a 1. Como t -> infinito, el término exponencial se desintegra a 0. Podemos utilizar esto para obtener una ecuación para V:

$$V = (final\ condition) - (difference\ between\ final\ and\ initial\ conditions) * (exponential\ term)$$

En t = 0, cuando el término exponencial es igual a 1, esto nos da:

$$V = (final\ condition) - (difference\ between\ final\ and\ initial\ conditions) = (initial\ condition)$$

En t = infinito, cuando el término exponencial es igual a 0, nos da:

$$V = (final\ condition) - 0 = (final\ condition)$$

En este circuito, nuestra condición inicial es $V = 0$. Nuestra condición final es $V = V_i$. La diferencia entre ellos es $V_i - 0 = V_i$. Normalmente se tiene que resolver la ecuación diferencial para obtener la constante de tiempo $\tau$, pero lo que el libro nos está diciendo es que para un R-C circuito, $\tau = RC$. Ahora podemos escribir el final de la ecuación:

$$V = V_i - V_ie^{-t/RC}$$

Cuando la condición inicial es cero (como en este caso), podemos escribir la ecuación como:

$$V = (final\ condition) * (1 - (exponential\ term))$$

lo que da:

$$V = V_i(1 - e^{-t/RC})$$

Y eso es exactamente lo que está en el libro.