Conjunto denso abierto de números reales

Question

Recientemente encontré el conjunto$O=\bigcup_{n=1}^\infty O_n$, donde$$\mathcal{O}_n = \left(r_n - \frac{\epsilon}{2^{n + 2}}, r_n + \frac{\epsilon}{2^{n + 2}}\right)$ $

donde {$r_n$} es una enumeración de racionales. El subconjunto anterior es denso en R y en medida finita. Pero mi pregunta es:

¿Podemos construir explícitamente un irracional no en el conjunto anterior?

Answer 1

Deje $O=\bigcup_{n=1}^\infty O_n$. Si por 'construir' que significa que usted puede encontrar una computable irracional $q$ tal que $q\not\in O$, la respuesta es curiosamente no.

Deje $r_n$ representan la secuencia de racionales. Y deje $q$ ser irracional no en $O$. Si $q$ eran computables habría una larga $r_{n_k}$ de su secuencia que converge a $q$ que $|r_{n_k}-r_{n_{k+1}}|<\varepsilon 2^{-(n_k+2)}$ por cada $k$ (podemos suponer a la larga está aumentando también). Dicho esto tenemos que $|r_{n_k}-q|=\sum_{i=k}^\infty |r_{n_i}-r_{n_{i+1}}|<\sum_{i=k}^\infty\varepsilon 2^{-(n_i+2)}=\varepsilon\sum_{i=k}^\infty 2^{-(n_i+2)}<\varepsilon 2^{-(n_k+2)}\sum_{i=1}^\infty 2^{-n_i}<\varepsilon 2^{-(n_k+2)}$.

Por lo tanto $q\in(r_{n_k}-\varepsilon 2^{-(n_k+2)}, r_{n_k}+\varepsilon 2^{-(n_k+2)})\subseteq O$.

Por lo tanto cualquier irracional no en su conjunto no es computable. Desde que las computadoras aún no se puede calcular todos los números computables, digamos noncomputable, "construir" un irracional parece fuera de cuestión.

EDITAR

El de arriba es incorrecta. No sólo hay problemas con la epsilon-ics, pero la afirmación es falsa también. Ciertamente, puede elegir cualquier computable irracional y, a continuación, encontrar una enumeración de los racionales tales que su conjunto se evita que el irracional (por cualquier $\varepsilon>0$, de hecho).

Sin embargo, si podemos demostrar una $\varepsilon>0$ y una enumeración de los racionales tal que su conjunto contiene todos los números computables, vamos a ser capaces de concluir que, en general, la respuesta es no.

Que podemos hacer esto es bastante claro. Desde el computables números son contables, podemos ordenarlas $\{c_n\}$. Y ahora, para cada una de las $n$ sólo tenemos que elegir un racional en $(c_n-\varepsilon 2^{-(n+2)}, c_n+\varepsilon 2^{-(n+2)})$. Desde los racionales son computables, podemos elegir que racional en sí cuando lleguemos a él. Esta secuencia se construye no será un estricto bijection, pero después de que nosotros la construimos nosotros puede ir a través de y saltar esas cosas que ya han elegido. Esta nueva secuencia no carecen de cualquier computable de los números en la unión, bien como los radios de aumentar. Así que, en general, usted no puede construir un irracional no en su conjunto.