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Determinación de la "positividad" o "negatividad" de la clase de Chern (¿número?) De conjuntos cero de polinomios homogéneos

Si $\Omega$ es la curvatura de la 2-forma en un $n-$colector, entonces yo creo que las clases de Chern (formas), $c_k$ se define como,

$det(I + \frac{it\Omega}{2\pi}) = \sum c_k t^k$

  • Me gustaría saber de un local de coordinar la expresión de los anteriores por lo que puedo ver claramente cómo cada una de las $c_k$ sobre el lado derecho resulta ser un rango de $2k$ formulario.

(..ingenuamente parece que uno tiene que pensar en el factor determinante en la LHS a ser la de una "matriz" de cada una de cuyas entradas son 2 formas de sí mismos y de la que probablemente sea la "multiplicación" de que se está haciendo entre los elementos de la matriz para evaluar el determinante es tomar una cuña de producto, pero me gustaría saber de algo explícito..)

  • ¿Qué significa cuando se habla de una clase de Chern ser positivo o negativo? Hay un invariante de significado que puede ser la integral sobre el colector de que forma?

  • Un caso particular que me interesa es este,

Considerar el cero en $\mathbb{CP}^n$ es homogénea de grado $k$ polinomio en $n$ variables. En primer lugar, cuando se garantiza que este va a ser un colector? Ahora bien, ¿cómo entender que el "signo" de la clase de Chern (whetever que significa) depende de si $k> n$ o $k<n$?

(..Veo a menudo la afirmación de que para $k=n$ el cero es un Calabi-Yau colector desde entonces la primera clase de Chern se desvanece..)

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Lennart Regebro Puntos 136

Deje $M$ $n$- dimensiones del colector y $E$ a un rango de $m$ vector complejo paquete de más de $M$. El Chern-Weil descripción de las clases de Chern de $E$ es, como usted ha dicho, dada por la generación de la función $$\det\left( \mathbb{I}_E + \frac{it}{2\pi}\Omega_A \right) = \sum c_k(E)t^k,$$ where $\Omega_A$ is the curvature of an arbitrarily chosen connection $$ on $E$; the cohomology class of each $c_k(E)$ is independent of the choice of $$. Now $\Omega_A$ can be viewed as an $\mathrm{End}(E)$-valued $2$-form, or, as you guessed, an $m \times m$ matrix of complex-valued $2$-forms. When taking products of the entries of $\Omega_A$, we use the wedge product. Note that with this interpretation, $i\Omega_A/2\pi$ is a skew-symmetric matrix and is hence diagonalizable. Let $x_1, \dots, x_m$ be the eigenvalues of $\Omega_A$ , and note that they are complex-valued $2$-forms. Then we have $$\det\left(\mathbb{I}_E + \frac{it}{2\pi}\Omega_A\right) = \det(\mathrm{diag}(1 + tx_1, \dots, 1 + tx_m)) = \sum_{k = 0}^m S_k(x_1, \dots, x_m)t^k,$$ where $S_k(x_1, \dots, x_m)$ is the $k^\text{th}$ elementary symmetric polynomial in $x_1, \dots, x_m$, i.e. $$S_0(x_1, \dots, x_m) = 1,$$ $$S_1(x_1, \dots, x_m) = \sum_{i = 1}^m x_i,$$ $$S_2(x_1, \dots, x_m) = \sum_{i &lt j} x_i x_j,$$ and so on until $$S_m(x_1, \dots, x_m) = x_1 \cdots x_m.$$ Using this, it is clear that $c_k(E)$ is a form of degree $2k$. Furthermore, this permits calculation of the Chern classes: $$c_1(E) = \frac{i}{2\pi} \mathrm{Tr}(\Omega_A),$$ $$c_2(E) = \frac{1}{2} \left( \frac{i}{2\pi} \mathrm{Tr}(\Omega_A) \right)^2 - \frac{1}{2} \mathrm{Tr}\left( \frac{i\Omega_A}{2\pi}\right)^2 = \frac{1}{2}c_1(E)^2 + \frac{1}{8\pi^2} \mathrm{Tr}(\Omega_A \wedge \Omega_A),$$ and so on until $$c_m(E) = \left( \frac{i}{2\pi} \right)^m \det(\Omega_A).$$

Deje $M$ ser un complejo colector de estructura compleja $J$ en su tangente paquete. A continuación, el paquete de $S^{1,1}M$ real simétrica $J$-invariante formas en $TM$ y el bulto $\wedge^{1,1} T^\ast M$ $2$- formas de tipo $(1,1)$ $M$ se puede poner en una correspondencia uno a uno por la asociación de a $b \in S^{1,1}M$ $2$forma $\beta \in \wedge^{1,1} T^\ast M$ definido por $$\beta(X,Y) = b(JX,Y)$$ for all $X, Y\, en T_x M$ and $x \in M$; if $b$ is positive definite (resp. negative definite), then $\beta$ is called positive (resp. negative). Then a cohomology class $\alpha \H^2(M;\mathbb{R})$ is positive (resp. negative) if it can be represented by a real positive (resp. negative) $2$-form of type $(1,1)$. This notion of positivity/negativity depends only on the complex structure $J$.

El ajuste a cero en $\mathbb{C}P^n$ homogéneo de grado $k$ polinomio $p$ es un buen colector de al $p$ satisface $(\nabla p)(Z) \neq 0$ cualquier $Z \neq 0$ tal que $p(Z) = 0$. Llamamos a la puesta a cero de un polinomio de la no-singular complejo de la hipersuperficie de grado $k$ $\mathbb{C}P^n$ y se denota por a $V^n(k)$; el uso de Ehresmann del fibration teorema se puede demostrar que la diffeomorphism clase de $V^n(k)$ sólo depende de $n$ $k$ (y no en el polinomio $p$). El uso de la contigüidad de la fórmula, se encuentra que $$c_1(V^n(k)) = (n + 1 - k)\omega,$$ where $\omega$ is the pullback of the Fubini-Study form on $\mathbb{C}P^n$ to $V^n(k)$. The Fubini-Study form is of course positive. Hence one sees that $c_1(V^n(k))$ is positive for $k \leq n$, zero for $k = n + 1$, and negative for $k \geq n + 2$. In particular, $V^n(n+1)$ is a Calabi-Yau manifold (not $V^n(n)$ como se dijo).

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