Deje que$R$ sea el triángulo con vértices en$(0,0)$,$(0,1)$,$(1,0)$. Encontrar: $\iint_R \exp((y-x)/( y+x))\, dx\,dy.$

Question

Tengo un problema con esto:

Deje que$R$ sea el triángulo con vértices en$(0,0)$,$(0,1)$,$(1,0)$.

Buscar:$$\iint_R \exp\left({y-x\over y+x}\right)\, dx\,dy.$ $ Traté de usar la sustitución$u=y+x$ y$v=y-x$, obteniendo el determinante jacobiano$\mathbf J={1\over 2}$, pero no sé cómo encontrar los nuevos límites de integración.

Answer 1

Antes de cambiar sus coordenadas, sus límites eran$x = 0, y = 0, x+y = 1$

Si $u = x+y, v = x-y$

$ x = \ frac 12 u + \ frac 12 v \\ y = \ frac 12 u - \ frac 12 v $

y sustituto

$ u = v \\ u = -v \\ u = 1 $

Answer 2

Su área inicial de integración está dada por

PS

Dejar $$R = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1-x\}$, $u = y+x$. Tenemos

$v = y-x$ $$$ 0 \le y+x \le 1 \implies u \in [0,1]$ $

por lo que la nueva área de integración es$$ \left|v\right| = \left|y-x\right| \le |y| + |x| = y+x = u \implies v \in [-u,u]$ $

Por lo tanto, tu integral es

\begin{align} \iint_R \exp \left(\frac{y-x}{y+x}\right)\,dx\,dy &= \frac12\iint_{S} \exp\left(\frac{v}{u}\right)\,du\,dv \\ &=\frac12 \int_0^1 \int_{-u}^u \exp\left(\frac{v}{u}\right)\,dv\,du\\ &= \frac12 \int_0^1 u\left(e - \frac1e\right)\,du\\ &= \frac14 \left(e - \frac1e\right)\\ &= \frac{e^2-1}{4e} \end{align}