Hallar el exponencial de una matriz.

Question

Estoy tratando de encontrar$\exp\left(\frac{i{\mu}t\mathbf{H}}{\sqrt{2}}\right)$ donde

PS

He llegado a entender que eso, para$$\mathbf{H}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

PS

PS

pero no estoy llegando a ninguna parte sustituyendo esto en la serie de poder y no tengo idea de cómo proceder. He visto la mención de Jordan en otras preguntas sobre esto, pero nunca he oído hablar de eso. Si necesito aprenderlo así, pero creo que debe haber alguna otra forma, ya que nunca se nos ha mostrado en clase.

Answer 1

La matriz exponencial de una matriz diagonalizable $$H = SDS^{-1}$$ es especialmente fácil, ya que $$e^H = Se^DS^{-1}$$ y la matriz exponencial de una matriz diagonal es simplemente una matriz de la exponencial de la diagonal de entradas.

Ahora su matriz $H$ es simétrica, lo que garantiza que ser diagonalizable. Debido a que la matriz es $3\times 3$ está garantizada incluso las fórmulas de forma cerrada, a pesar de que usted puede conseguir fácilmente en paquetes computacionales como Matlab, Mathematica, o incluso Wolfram Alpha para calcular $S$$D$.

Answer 2

Permitir que$$T=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-\sqrt2&\sqrt2&0\\1&1&1\end{pmatrix}.$$Note that the columns of $ T$ form a basis of eigenvectors of $ H$. Besides, the eigenvalues of $ H$ corresponding to the first, the second, and the third column of $ T$ are $ - \ sqrt2$, $ \ sqrt2$ and $ 0$; respectively. Therefore$$T^{-1}.H.T=\begin{pmatrix}-\sqrt2&0&0\\0&\sqrt2&0\\0&0&0\end{pmatrix}$$and so$$T^{-1}.\frac{i\mu t}{\sqrt2}H.T=\begin{pmatrix}-i\mu t&0&0\\0&i\mu t&0\\0&0&0\end{pmatrix},$$from which it follows that$$T^{-1}.\exp\left(\frac{i\mu t}{\sqrt2}H\right).T=\begin{pmatrix}e^{-i\mu t}&0&0\\0&e^{i\mu t}&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$ $ Por lo tanto, \begin{align}\exp\left(\frac{i\mu t}{\sqrt2}H\right)&=T.\begin{pmatrix}e^{-i\mu t}&0&0\\0&e^{i\mu t}&0\\0&0&1\end {pmatrix} .T ^ {- 1}. \\ & = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \left(1+e^{-i t \mu }\right) & 0 & \frac{1}{2} \left(-1+e^{-i t \mu }\right) \\ 0 & e^{-i t \mu } & 0 \\ \frac{1}{2} \left(-1+e^{-i t \mu }\right) & 0 & \frac{1}{2} \left(1+e^{-i t \mu }\right)\end {pmatrix}. \ end {align}

Answer 3

\begin{align} \exp\left(\frac{i\mu t}{\sqrt{2}}H\right) &=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\left(\frac{i\mu t}{\sqrt{2}}H\right)^n\\ &=I+\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)!}\left(\frac{i\mu t}{\sqrt{2}}H\right)^{2n} +\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n-1)!}\left(\frac{i\mu t}{\sqrt{2}}H\right)^{2n-1}\\ &=I+\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)!}\left(\frac{i\mu t}{\sqrt{2}}\right)^{2n}2^{n-1}H^2 +\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n-1)!}\left(\frac{i\mu t}{\sqrt{2}}\right)^{2n-1}2^{n-1}H\\ &=I+\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)!}\left(i\mu t\right)^{2n}H^2 +\frac1{\sqrt{2}}\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n-1)!}\left(i\mu t\right)^{2n-1}H\\ &=I+\frac12(\cos(e^{i\mu t})-1)H^2 +\frac1{\sqrt{2}}\sin(e^{i\mu t})H\\ &=\pmatrix{ \frac12(\cos(e^{i\mu t})+1)&\frac1{\sqrt{2}}\sin(e^{i\mu t})&\frac12(\cos(e^{i\mu t})-1)\\ \frac1{\sqrt{2}}\sin(e^{i\mu t})&\cos(e^{i\mu t})&\frac1{\sqrt{2}}\sin(e^{i\mu t})\\ \frac12(\cos(e^{i\mu t})-1)&\frac1{\sqrt{2}}\sin(e^{i\mu t})&\frac12(\cos(e^{i\mu t})+1)}. \end{align}