¿Para qué valores de$n$ existe el límite$\lim\frac{x^2y}{x^{2n}+y^2}$?

Question

¿Para qué valores de n existe el siguiente límite?

PS

He intentado usar el teorema de compresión pero no pude encontrar nada bueno. También convertirlo a coordenadas cilíndricas me dio la respuesta de que el límite existe para todas las n (que no sé si es correcto).

Answer 1

Insinuación:

PS

Así

PS

Considere el teorema de compresión para encontrar una condición suficiente en$$x^{2n} + y^2 = |x|^{2n} + |y|^2 \geqslant 2|x^n||y|$ para la convergencia a$$0 \leqslant \left|\frac{x^2y}{x^{2n} + y^2} \right| = \frac{|x|^2|y|}{x^{2n} + y^2} \leqslant \frac{|x|^{2-n}}{2}.$. Luego considere lo que sucede si esta condición no se cumple.

Answer 2

Sabemos que con$x=0$ como$y\to0$ luego$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^{2n}+y^2}=\lim_{y\to0} \frac{0}{0+y^2}=0$ $

Para$n>2$ este límite no existe. Permitir que$y=x^n$ sea$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^{2n}+y^2}=\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^{n+2}}{2x^{2n}}=\infty$ $ Esta sustitución muestra para$n=2$ que este límite no existe. Deje que$y=x^2$ para que$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^{2n}+y^2}=\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^4}{2x^4}=\frac12$ $ Para$n=1$ exista el límite. Por coordenadas polares$$\Big|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\Big|=\Big|\frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^2}\Big|=|r\cos^2\theta\sin\theta|<r$ $

Answer 3

Vamos a eliminar el primero de los casos $n<0$$n\ge2$.

• $n<0$ converge

$$f_n(x,y)=\frac{x^2y\ .\ x^{2|n|}}{1+y^2x^{2|n|}}\sim x^{2|n|+2}y\to 0$$

• $n>2$ diverge

$$f_n(x,x^n)=\frac{x^2x^n}{x^{2n}+x^{2n}}=\frac{1}{2}x^{2+n-2n}=\frac{1}{2}x^{2-n}\to \infty$$

• $n=2$ tiene múltiples límites, de modo que no converge

$$f_2(0,y)=\frac{0}{0+y^2}=0\to 0$$

$$f_2(x,x)=\frac{x^3}{x^4+x^2}\sim\frac{x^3}{x^2}\sim x\to 0$$

$$f_2(x,x^2)=\frac{x^2x^2}{x^4+x^4}\to\frac{1}{2}$$

Así que vamos a tener ahora $n\in[0,2[$

Le suelto sin generalidad en grafía $y=x^ng(x,y)$, la función de $g$ ser arbitrario.

$$f(x,y)=\frac{x^2x^ng(x,y)}{x^{2n}+x^{2n}g(x,y)^2}=x^{2-n}\frac{g(x,y)}{1+g(x,y)^2}$$

De acuerdo a este estudio : rango de $\frac{x}{x^2+1}$

Podemos decir que el $|\frac{g}{1+g^2}|<1$

Por lo tanto $|f(x,y)|\le|x^{2-n}||\frac{g}{1+g^2}|<|x^{2-n}|\to 0$

$\color{teal}{Conclusion :}$ $\lim\limits_{x,y\to 0}f(x,y)$ existe $n\in]-\infty,2[$ y este límite es $0$.

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Por supuesto, también podemos hacerlo directamente mediante el establecimiento $u=\frac{y}{x^n}$.

$$f_n(x,y)=\frac{x^2y}{x^{2n}+y^2}=\frac{x^2x^n\frac{y}{x^n}}{x^{2n}(1+\frac{y^2}{x^{2n}})}=x^{2-n}\frac{u}{1+u^2}$$

Y desde $|\frac{u}{1+u^2}|\le\frac 12$ es acotado, $f_n(x,y)\to 0$$n<2$.

También ya podemos elegir el $y$, de modo que esta expresión tomar cualquier valor en $[-\frac12,\frac12]$ $f_n(x,y)$ no puede converger para $n\ge 2$.

Nota: Esto es porque tiene varios límites. Y para $n>2$ la divergencia de a $\infty$ no es incluso necesario, sólo baste decir que $-\infty$, $0$, $+\infty$ son todos los posibles límites.