Rango de probabilidad binomial, dado un cierto número de observaciones?

Question

Digamos que me dan$n$ tiradas de una moneda,$k$ de las cuales son caras. Estos son iid flips.

¿Puedo decir, con probabilidad$p > 1/2$, que la probabilidad real de caras es en el rango$[p_1, p_2]$? ¿Cuál es ese rango?

¿Cómo integro el conocimiento previo de la distribución binomial? ¿Qué pasa si no tengo conocimiento previo?

Answer 1

Hay todo un campo, en torno a cuestiones de este tipo, llamado la estadística bayesiana, que ha sido un tiempo desde que he mirado este material, pero si no recuerdo mal.

Lamentablemente usted no necesita tener algún tipo de pre-determinada visión de lo que p es. Que algunos antes de darle la vuelta a la n monedas que tienen una distribución en cuenta para el valor de p (llamada antes de la distribución). Esta distribución de los cambios que le da la vuelta a las monedas (se obtiene una distribución posterior).

Por ejemplo, usted puede comenzar a creer que la moneda tiene un 50% de probabilidad de ser justo y un 50% de probabilidad de que salga cara 2/3rds de la época. (Usted podría creer si conoces a la persona que consiguió la moneda de los dos tipos de monedas y hay un 50% de probabilidades de que él está tratando de engañar a usted).

Lo interesante (o al menos agradable) el caso es que cuando su distribución previa es un "conjugado antes". Lo que básicamente significa que su posterior distiribution para p es de la misma paramétrico de la familia como su distribución previa. Creo que el conjugado antes de esto es la distribución beta, pero es posible que desee google "conjugado antes" y "la estadística bayesiana".

Espero que ayude.

Answer 2

1.La respuesta a su pregunta se puede encontrar en la página de la Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_proportion_confidence_interval

La idea de la estimación de un parámetro de distribución es la construcción de una variable aleatoria cuya expectativa es el parámetro necesario para ser estimado. En tu ejemplo, queremos calcular la probabilidad de éxito de una distribución de Bernoulli y construimos una binomial variable aleatoria distribuye por la repetición de pruebas. El punto clave es que la nueva variable aleatoria tiene el mismo promedio (después de la normalización por n), pero su desviación estándar es menor (por un factor de sqrt(n)), que da el mejor de los límites en el valor estimado. El nivel de confianza es sólo un percetile de la distribución de la variable aleatoria utilizada para la estimación (en el ejemplo se eligió el 50%).El tamaño del intervalo es una función de la porcentual. El valor estimado de p* = k/n es en el interior del intervalo, pero el intervalo no es simétrica en general en torno a este valor. En la página de la Wikipedia, varias aproximaciones para la gran n está dado, basado en el teorema del límite central, que se suelen utilizar en la vida real de las estimaciones.

2.La solución anterior supone el conocimiento previo de que la distribución de un único ensayo es de Bernoulli y de que los ensayos son independientes. Generalmente, uno necesita un poco de conocimiento previo a infere un parámetro estadístico. Específicamente en su pregunta, antes de knowldge sería que los coin flips son independientes, o que después de algunos voltear la probabilidad de éxito p había cambiado, etc.

Answer 3

Algunos límites muy agudos para preguntas como estas son proporcionados por algo llamado un enlace de Chernoff . El ejemplo en el artículo de wikipedia le dará lo que necesita.

Edit: Oh, me olvidé de decir que necesitas un estimador para la probabilidad "verdadera", pero supongo que el que estás usando es solo el promedio sobre las muestras.