Deje $p$ ser una de las primeras. Demostrar que $p$ divide $ab^p−ba^p$ para todos los enteros $a$$b$.

Question

Deje $p$ ser una de las primeras. Demostrar que $p$ divide $ab^p−ba^p$ para todos los números enteros $a$ $b$.

Answer 1

KV Raman la respuesta es bastante correcto, pero yo voy a escribir mi respuesta porque de todos modos me parece más ordenado.

$\mathbb{Z}_p^* = \mathbb{Z}_p\setminus \{0\}$ es un grupo cíclico de orden $p-1$ bajo la multiplicación, por lo $a^{p-1} \equiv 1 \mod p$ para todos los enteros no divisible por $p$. Si $a$ es divisible por $p$, $a^n \equiv 0 \mod p$ todos los $n$. Así que tenemos $a^p \equiv a \mod p$$a\in \mathbb{Z}$. (Esto es de Fermat Poco Teorema.)

Ahora para cualquier enteros $a$$b$, \[ ab^p \equiv ab \equiv^pb \mod p \] y por lo $ab^p - ba^p \equiv 0 \mod p$, lo que significa que $p$ divide $ab^p - ba^p$.

Answer 2

$$ab^p-ba^p = ab(b^{p-1}-a^{p-1})$$

Si $p|ab$, $p|(ab^p-ba^p)$ y también si $p \nmid ab$, entonces mcd$(p,a)=$mcd$(p,b)=1, \Rightarrow b^{p-1} \equiv a^{p-1} \equiv 1\pmod{p}$ (por Fermat poco teorema).

Esto implica, además, que $\displaystyle{p|(b^{p-1}-a^{p-1}) \Rightarrow p|(ab^p-ba^p)}$.

Q. E. D.

Answer 3

Sugerencia $\ $ poco de Fermat $\rm\Rightarrow mod\ p\!:\ n^p \equiv n\ \Rightarrow\ f(a,b^p)\equiv f(a,b)\equiv f(a^p,b)\ $ todos los $\rm\:f\in \mathbb Z[x,y]$