¿Qué es un cograph de un n-functor?

Question

Estoy tratando de conseguir mi cabeza alrededor de lo que es un cograph de un n-functor es. Nosotros (algunos n-Laboratorio de personas) están discutiendo aquí. Como empezar, yo estaría encantado de entender lo que el cograph de un 0-functor, es decir, la función entre conjuntos, es.

Gracias!

Answer 1

En términos formales, el gráfico de un mapa de $f: X \to Y$ es sólo el mapa $$(1, f): X \to X \times Y.$$ This makes sense in any category with products, denoted $\veces$. Of course, one has a certain mental picture, at least in the category of sets: I'm thinking of an $X$-axis, and a $S$-axis, and the graph as a curve in the absolutely ordinary, school-mathematics way. I'm also visualizing the way in which each point on the $X$-axis has assigned to it a point on the curve, namely, the one directly above it. This assignment is the map $(1, f)$ sí misma. La imagen de este mapa es la curva.

En términos formales, el cograph de un mapa de $f: X \to Y$ es sólo el mapa $$[f, 1]: X + Y \to Y.$$ This makes sense in any category with sums (coproducts), denoted $+$. (Usually one would write a column vector instead of $[f, 1]$, but I don't want to figure out how to typeset that, and I hope you know what I mean.) This corresponds to a different mental picture of a map (again sticking to maps of sets): it's the one where you draw the set $X$ on the left, as a bunch of dots in a circle, the set $S$ on the right, as another bunch of dots in a circle, and arrows going from the various points of $X$ to their images in $$ Y.

Esto se discute en Lawvere y Rosebrugh del libro Establece para las Matemáticas. Si usted sigue el enlace y descarga el capítulo de la muestra, usted encontrará una foto de el tipo que me refiero, y la palabra "cograph", en la página 2.

Answer 2

Creo que la noción usual de cograph para una función f : a → B entre conjuntos es el cociente de Una ∐ B por la relación f(a) ~ b, junto con sus inclusiones de a y B. a partir De una homotopy teórica punto de vista, se podría llamar también la asignación de cilindro de f. Como se discutió en su enlace, en lugar de identificar a f(a) y la b (o, equivalentemente, pegamento en un 1-celda entre f(a) y (b) usted puede insertar un no invertible 1-morfismos para obtener una categoría. Así que hay construcciones que producen cada uno de un 0 categoría 1 categoría. Sin embargo, en la n-categóricas (o (∞,n)-categórica) caso parece que siempre acaba de obtener un n-categoría, nunca (n+1)-categoría.

Creo que lo que está sucediendo es que el hecho de que usted está buscando en un diagrama de conjuntos, o más en general, n-categorías, indexado por un 1-categoría {• → •}. El resultado es un max(n,1)-categoría. Si usted se considera una transformación natural entre dos functors entre 1-categorías, tal vez usted puede definir un cograph que es, naturalmente, una de 2 categoría.

(Y por cierto, no tengo idea de lo que se entiende en cograph de un functor por "La cograph 2-pullback [diagrama] se calcula por el ordinario de retirada [diagrama]", aunque el último diagrama tiene sentido y que el resto de la página está muy bien. Oh ya veo, "2-pullback" debe ser "coma objeto".)