Estoy calculando algo en este papel https://arxiv.org/pdf/1501.07527.pdf en la página 7, la fórmula (10,11,12). Supongamos $X:M^2\rightarrow (N,g)$ es una inmersión, $\nabla$ es la conexión de $N$ inducida por $g$, $g^M$ es la inducida por la métrica en la $M^2$. Ahora la segunda forma fundamental de la $X$ se define como $$A(Y,Z)=(\nabla_Y Z)^{\perp}.$$ Los componentes de $A_{ij}=(\nabla_{X_i}X_j)^{\perp}$, ahora quiero ver lo que sucede en el marco de conformación de cambio de métrica, es decir, $\tilde{g}=e^{2\varphi}g$, va como $$\begin{eqnarray}\tilde{A}_{ij}&=&(\tilde{\nabla}_{X_i}X_j)^{\perp}\\&=&(\nabla_{X_i}Y_i+X_i(\varphi)Y_i+Y_i(\varphi)X_i-g(X_i,Y_i)\nabla\varphi)^{\perp}\\ &=&(\nabla_{X_i}Y_i-g^{M}_{ij}\nabla\varphi)^{\perp}\\ &=&A_{ij}-g_{ij}^M(\nabla \varphi)^{\perp}\end{eqnarray}$$ Que es una especie diferente de la fórmula (12), que ha $e^{\varphi}$ como coeficiente de en sobre de papel, hice algo mal?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
tl;dr $A$ $h_{i j}$ son cosas diferentes y tienen diferentes conformación de peso.
Vamos a escribir $\overline{\nabla}$ para la conexión intrínseca en $M$ (es decir, la de Levi-Civita de conexión de $g^M$), y mantener su notación $A$ para la segunda forma fundamental:
$$ \nabla_Y Z =\overline{\nabla}_Y Z + A(Y,Z) $$
Esta es una descomposición ortogonal. En particular, $A$ es un vector con valores de 2-forma en $TM$. En realidad, $A(Y,Z)$ toma valores en el normal paquete a $M$.
En componentes, $A(Y,Z) = N \cdot h_{i j} Y^i Z^j$ donde $N$ es una unidad normal de campo a lo largo de $M$. La unidad de vectores normales a escala con la conformación de peso $-1$$\widetilde{N} = e^{-\varphi}N$. Esto se deduce de la $g(N, N) = 1$ y el tautológica hecho de que $g$ "escalas" con la conformación de peso 2: $\widetilde{g} = e^{2 \varphi} g$, mientras que el $1$ tiene peso (una constante!).
Por lo tanto, $h_{i j}$ debe tener la conformación de peso $1$, que es la escala con el factor de $e^{\varphi}$.
En el artículo de la OP se refiere, los autores de tragar (p.6, entre las ecuaciones (8) y (9)) la transición de los valores de vectores $h$ a los componentes escalares $h_{i j}$, y después cambia a una "asociada al endomorfismo" como $[h]^{i}_{j}$, lo que hace las cosas aún más confusas (cf. eq.(13)).
