Lo que demuestra esta declaración sin la independencia de la condición (Borel 0-1 Ley)

Question

Estoy tratando de demostrar esta afirmación, "si $P(S_n) \to 1$$n \to \infty$, demostrar que no existe subsequence $\{n_k\}$ tal que $P(\cap_{n_k}S_{n_k}) > 0$".

Como $lim_{n \to \infty} P(S_n) = 1 \ne 0 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} P(S_n) = \infty$.

Si la secuencia de $\{S_n\}$ es independiente, entonces puedo usar Borel 0-1 ley para obtener $P(S_n \text{ i.o}) = 1 \Rightarrow P(\{s : s \in S_{n_k} \}) = 1$ k = 1,2, ... $\Rightarrow P(\cap_{n_k} S_{n_k}) = 1$.

Por otro lado, ¿cómo puedo comprobar esta afirmación, sin la condición de independencia ? Porque no puedo usar Borel 0-1 ley de otra manera.

Answer 1

No creo que el Borel-Cantelli lema es adecuado para este ejercicio. Para resolverlo, usted sólo tendrá que utilizar las definiciones básicas de la teoría de la probabilidad.

Tres ingredientes están involucrados. (1)$P\left(S_{n}\right)\to1$, sabemos que $P\left(S_{n}^{c}\right)\to0$. (2) Por De Morgan de la ley, $P\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}S_{n}\right)=1-P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}S_{n}^{c}\right)$. (3) Por contables subadditivity, $P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}S_{n}^{c}\right)\leq\sum_{n=1}^{\infty}P\left(S_{n}^{c}\right)$. Es probablemente una buena idea para mostrar el resultado con el uso de estas sugerencias.

Te voy a mostrar un poco más general de los resultados, es decir, que para cualquier $\delta>0$ hay subsequence $\delta$dependiente de la subsequence $n_{k}$ tal que $P\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}S_{n_{k}}\right)\geq1-\delta$: Desde $P\left(S_{n}^{c}\right)\to0$, hay una larga $S_{n_{k}}$ la satisfacción de $P\left(S_{n_{k}}^{c}\right)<\delta2^{-k}$, lo que implica $\sum_{k=1}^{\infty}P\left(S_{n_{k}}^{c}\right)<\delta$. Por De Morgan la ley y subadditivity, $P\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}S_{n}\right)\geq1-\delta$ como se reivindica.