Cómo $a^{\log_b x} = x^{\log_b a}$?

Question

Este hecho desencadenó en mi mente desde aquí. Después de un poco jugando me doy cuenta de que la relación se $a^{\log_b x} = x^{\log_b a}$ es verdadera para cualquier valor válido de $a,b$$x$. Yo soy muy curioso para ver cómo se mantiene ?

Answer 1

Para cualquier positivos $r$ y cualquier $s$, usted tiene $$r^s = b^{\log_b(r^s)} = b^{s\log_b(r)}.$$ Así,$r=a$$s=\log_b(x)$, tenemos: \begin{align*} a^{\log_b(x)} &= b^{\log_b(x)\log_b(a)}\\ &= b^{\log_b(a)\log_b(x)}\\ & = b^{\log_b(x^{\log_b(a)})}\\ &= x^{\log_b(a)}. \end{align*}

Answer 2

SUGERENCIA $\rm\ \ \ log(A^{\log X})\ =\ log\ X\ \ log\ A\ =\ log(X^{\log A})\:,\ $ donde $\rm\ log := log_b$

Answer 3

El uso de registro de propiedades, contamos con

$a^{\log_b(x)} = b^{\log_b\left(a^{\log_b(x)}\right)} = b^{\log_b(x)\log_b(a)} = \left(b^{\log_b(x)}\right)^{\log_b(a)} = x^{\log_b(a)}$

Answer 4

De otra manera :

El cambio de la base de los logaritmos, tenemos :

$$\log_{b}a= \displaystyle\frac{\log_{x}a}{\log_{x}b}$$ y $$\log_{x}b= \displaystyle\frac{\log_{b}b}{\log_{b}x} = \frac{1}{\log_{b}x} $$

Al combinar estos dos ecuations,

$\log_{b}a= (\log_{b}x)(\log_{x}a) \Leftrightarrow (\log_{b}a)(\log_{x}x)= (\log_{b}x)(\log_{x}a) \Leftrightarrow \log_{x}x^{\log_{b}a} = \log_{x}a^{\log_{b}x}$

Por último, la cancelación de $\log_{x}$ en ambos lados, tenemos : $$x^{\log_{b}a} = a^{\log_{b}x}$$