Por qué y cómo podría la integral de la $\int_{-1}^{1} \left(x^2 - \frac{1}{3}\right) dx$$0$?

Question

Cómo puede esta integral ser igual a $0$?

$$\int_{-1}^{1} \left(x^2 - \frac{1}{3}\right) \; dx$$

El integrando es par, y los límites son simétricas, ¿cómo podría ser esto $0$?

Answer 1

No hay nada que impida una función par de tener un $0$ integral sobre un intervalo simétrico, tan largo como la integral de la $0$$a$$0$.

Tenga en cuenta que $\int_0^1\left(x^2-\frac{1}{3}\right)\,dx = 0$ así (dibuja la función para ver por qué esto es razonable), así que no hay problema aquí: $$\int_{-1}^1\left(x^2 - \frac{1}{3}\right)\,dx = 2\int_0^1\left(x^2-\frac{1}{3}\right)\,dx = 2(0) = 0.$$

Por otra función que, incluso, es y ha integral de la $0$$[-1,1]$, tome $y=|x|-\frac{1}{2}$.

Answer 2

Esto puede ayudar.

Edit: Si es que todavía no está claro intente $\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}x^2-\frac{1}{3}dx$ y, a continuación, $\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{1}x^2-\frac{1}{3}dx$ y verás que uno es el negativo de la otra y por lo tanto se anulan. Pueden parecer que no tienen la misma área, pero lo hacen. Como un círculo con un radio de $5$ puede parecer que no tiene la misma área que un rectángulo con ancho de $5$ y la longitud de la $5\pi$, pero todavía lo hacen.

Answer 3

Incluso las integrales pueden fácilmente ser cero. Por ejemplo, escoja favorito incluso integrable función de $f(x)$.

Deje $$g(x)= f(x) -\frac{1}{2a}\int_{-a}^a f(t) dt \,.$$

A continuación, $g$ es regular y

$$\int_{-a}^a g(x) dx =0$$

Answer 4

¿Por qué no? Es cierto que este es el doble de la integral de$0$$1$, por simetría. Pero la integral de$0$$1$$0$.