El uso de la raíz de Cauchy de la prueba

Question

Tengo la siguiente serie: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n n!}{n^n} $$ I debe resolver a ver si converge o no. Tengo el siguiente proceso:

Sol (intento de): Vamos a $a_n=\frac{3^n n!}{n^n}$. Por el Cauchy raíz de la prueba tenemos que: $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]\frac{3^n n!}{n^n} =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n] {\left(\frac{3}{n}\right)^n n!} = \lim_{n\to\infty}\frac{3}{n}\sqrt[n]{n!} = \lim_{n\to\infty}\frac{3}{n}(n!)^\frac{1}{n} = 0$$ Si $n$ tiende a infinito tenemos que $\frac{3}{n}=0$ $ (n!)^\frac{1}{n}=(n!)^0=1$
Por lo tanto, la serie converge absolutamente.

Mi pregunta es acerca de si estoy usando la prueba de una buena manera, y si el límite es correcta. Si hay algún error en mi proceso, yo estaría agradecido de saber.

Answer 1

Tenemos $$\frac {a_{n+1}}{a_n}= \frac {3(n+1)n^n} {(n+1)^{n+1}} =\frac {3}{ (1+\frac {1}{n})^n } \\frac {3}{e}>1 \text { como } n\to \infty.$$

O podemos aplicar en la raíz de la prueba utilizando la Fórmula de Stirling: Para $n>0$ tenemos $1-\frac {1}{6n}<n!^{-1}(\frac {n}{e})^n\sqrt {2\pi n}\;<1+\frac {1}{6n}$.

Aunque para esta Q es suficiente utilizar una consecuencia de lo que mucho más fácil de probar: $\lim_{n\to \infty}n!\cdot \left(\frac {n}{e}\right)^{-n}=1, $, lo que implica que $$\lim_{n\to \infty}(a_n)^{1/n}=\frac {3}{e}>1.$$

Answer 2

La prueba de razón de las obras fácilmente: $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3^{n+1}(n+1)\not!}{(n+1)^{n+1}}\,\frac{n^{n}}{3^{n}\not{n\not!}}=\frac{3}{\Bigl(\cfrac{n+1}n\Bigr)^n}=\frac{3}{\Bigl(1+\cfrac{1}n\Bigr)^n}\to\frac 3{\mathrm e}>1.$$

Answer 3

Pensé que podría ser instructivo para presentar un camino a seguir que no se basa en la Fórmula de Stirling. En la siguiente, vamos a utilizar la desigualdad

$$\begin{align} \frac1n \sum_{k=1}^n\log(k/n)&>\int_0^1 \log(x)\,dx\\\\ &=-1\tag1 \end{align}$$

desde $\log(x)\le 0$ y cóncava para $x\in (0,1]$. Ahora procedemos.

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Tenga en cuenta que tenemos

$$\begin{align} (n!)^{1/n}&=e^{\frac1n \log(n!)}\\\\ &=e^{\frac1n \sum_{k=1}^n\log(k)}\\\\ &=ne^{\frac1n \sum_{k=1}^n\log(k/n)}\tag2\\\\ &>ne^{-1}\tag3 \end{align}$$

donde se utilizó $(1)$ en lo que va de $(2)$$(3)$.

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Por último, la aplicación de $(3)$ rendimientos

$$\begin{align} \sqrt[n]{\frac{3^n\,n!}{n^n}}&>\frac3e\\\\ &>1\tag4 \end{align}$$

Dejando $n\to \infty$$(4)$, nos encontramos con que

$$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{3^n\,n!}{n^n}}>1$$

lo que implica, desde la raíz de la prueba que la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n\,n!}{n^n}$ diverge.

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NOTA: Dado $(4)$, vemos que en general los términos de la serie no se acercan a $0$. Por lo tanto, la raíz de la prueba es innecesaria.

Answer 4

Hasta este punto es ACEPTAR: $$\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n}(n!)^\frac{1}{n}$$ Sin embargo, $(n!)^\frac{1}{n}=(n!)^0=1$ no es cierto. Es $\infty^0$ tipo de forma indeterminada, por lo que debe tener cuidado. Usted puede utilizar el cálculo: $e^n\ge \frac{n^n}{n!} \Rightarrow n!\ge \left(\frac{n}{e}\right)^n$: $$\frac{3}{n}(n!)^\frac{1}{n}\ge \frac3n\cdot \frac{n}{e}=\frac3e>1.$$

Answer 5

Usar lo que ya hizo, considere la posibilidad de $$A=\frac{3}{n}(n!)^\frac{1}{n}\implies \log(A)=\log(3)-\log(n)+\frac{1}{n}\log(n!)$$ y el uso de la aproximación de Stirling $$\log(n!)=n (\log (n)-1)+\frac{1}{2} \left(\log (2 \pi )+\log \left({n}\right)\right)+\frac{1}{12 n}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$ Sustituir y simplificar para obtener $$\log(A)=-1+\log(3)+\frac{\log(2\pi n)}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$