Los factores determinantes y el volumen de parallelotopes

Question

El valor absoluto de un $2 \times 2$ matriz de determinante es el área de un paralelogramo correspondiente con el $2$ vectores fila como laterales.

El valor absoluto de un $3 \times 3$ matriz de determinante es el volumen de una correspondiente forma de paralelepípedo con la $3$ vectores fila como laterales.

Puede ser generalizado a $n-D$? El valor absoluto de un $n \times n$ matriz de determinante es el volumen de un correspondiente $n-$parallelotope?

Answer 1

Sí se puede. De hecho, como Katie Bancos se ha señalado, un factor determinante es una forma intuitiva de pensar acerca de los volúmenes. Para resumir su argumento, si consideramos los vectores como una matriz de conmutación de dos filas, multiplicando por una constante o la adición de una combinación lineal tendrá el mismo efecto en el volumen como en el determinado. Podemos utilizar estas operaciones para transformar cualquier n-parallelotope de cubos y nota que el determinante coincide con la firma de volumen, por lo que va a coincidir en todas partes también.

Answer 2

Sí, consulte el artículo de la Wikipedia.

Esto se deduce a partir de la modificación de las variables de la fórmula con el Jacobiano. Sin embargo, es probablemente más exacto decir que el cambio de las variables de la fórmula es un (trivial) de las consecuencias de este. Un argumento a favor de este hecho, que se da en Rudin del Real y Complejo Análisis, es el hecho de que tanto el determinante y la función de volumen hasta firmar comportan muy bien satisfacer ciertas propiedades específicas (es decir, multilineal, alternando, normalizado) por lo tanto son los mismos.

Answer 3

Sí, eso es porque en su mayoría de forma general, el determinante es definido de esa manera, excepto sin el valor absoluto de la parte. El determinante es una forma de comparar los volúmenes de los subespacios que tienen el mismo grado, que es el multi-vector equivalente al tamaño de la matriz.