Límite con los términos de la progresión geométrica

Question

Yo calculada $$\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{n^n+n^{n+1}+\cdots+n^{2n}} \cdot\left(1-\cos{\frac{3}{n}}\right)$$

$$=\lim_{n \rightarrow \infty } n^2 \sqrt[n]{n^{-n}+n^{-n+1}+\cdots+1} \cdot \left(1-\cos \frac{3}{n} \right) $$ $$=\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{n^{-n}+n^{-n+1}+ \cdots +1} \cdot \frac{1-\cos \frac{3}{n} }{\frac{9}{n^2}}\cdot 9=\frac{9}{2} $$

1) ¿Es correcto extraer $n^{2n}$ $\sqrt[n]{n^n+n^{n+1}+\cdots+n^{2n}}$ la manera en que lo hice?

2) ¿Cómo puedo demostrar que $\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{n^{-n}+n^{-n+1}+\cdots+1}=1$?

Se me ocurrió esto: para la progresión geométrica de la suma puede calcularse como $s_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$, pero esto lo aprendí en la escuela secundaria y si recuerdo correctamente lo hemos utilizado para número finito de términos. Así que no sé si lo puedo usar aquí como $n\rightarrow \infty$.

$$\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{n^{-n}+n^{-n+1}+\cdots+1} = \lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{n^{-n}\cdot \frac{n^n-1}{n-1}+1}$$

Así que me puede estimar superior/límite inferior:

$$\sqrt[n]{1} \le \sqrt[n]{n^{-n}\cdot \frac{n^n-1}{n-1}+1} \le \sqrt[n]n $$

Entonces: $$\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{n^{-n}+n^{-n+1}+\cdots+1}=1$$

Gracias.

Answer 1

Su serie geométrica ha $n$ términos, de la que todos, pero los dos últimos son más pequeños de lo $1/n^2,$, de modo que su suma sea menor que $1/n,$ por lo que la expresión bajo el radical es menor que $1+2/n,$ en lo que va de a $1,$ por lo tanto también lo hace su $n$th raíz.