Integrabilidad de $(x+y) ^{-3}$.

Question

Me piden determinar para qué valores positivos de $\alpha$ $(x+y)^{-3}$ integrable en la región donde$0<x<1$$0<y<x^\alpha$. He encontrado que la función es integrable al $\alpha \geq 3$, pero no estoy seguro sobre el caso al $0<\alpha<3.$

Answer 1

Tenemos

$$\begin{align} \int_0^1\int_0^{x^{\alpha}}\frac{1}{(x+y)^3}dy\,dx&=\frac12\int_0^1\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x+x^{\alpha})^2}\right)dx\\\\ &=\frac12\int_0^1\frac{2x^{\alpha-1}+x^{2\alpha-2}}{(x+x^{\alpha})^2}dx\tag1\\\\ \end{align}$$

Para $\alpha>1$, podemos reescribir el lado derecho de la $(1)$

$$\begin{align} \frac12\int_0^1\frac{2x^{\alpha-1}+x^{2\alpha-2}}{(x+x^{\alpha})^2}dx=\frac12\int_0^1\frac{2x^{\alpha-3}+x^{2\alpha-4}}{(1+x^{\alpha-1})^2}dx \tag 2\\\\ \end{align}$$

Para que la integral converge, requerimos $\alpha-3>-1$$2\alpha -4>-1$. Estas dos condiciones se cumplen para $\alpha >2$.

Si $\alpha \le 1$, podemos reescribir el lado derecho de la $(1)$

$$\begin{align} \frac12\int_0^1\frac{2x^{\alpha-1}+x^{2\alpha-2}}{(x+x^{\alpha})^2}dx=\frac12\int_0^1\frac{2x^{-\alpha-1}+x^{-2}}{(1+x^{1-\alpha})^2}dx \tag 2\\\\ \end{align}$$

y vemos que la integral diverge.

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\text{Thus, the integral converges for all}\,\,\alpha >2\,\,\text{and diverges otherwise.}}$$