Espacio tangente de Zariski y $k[\varepsilon]/\varepsilon^2$

Question

Dejemos que $X$ sea un esquema sobre un campo $k$ y que $x\in X$ sea un punto racional, es decir, tenemos $k(x):=\mathcal{O}_x/\mathfrak{m}_x\cong k$ . Sea $\alpha:\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2\rightarrow k$ sea un elemento de $T_x=(\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)^*$ el espacio tangente de Zariski a $X$ en $x$ . Utilizando $x$ y $\alpha$ Me gustaría definir un $k$ -morfismo de esquemas Spec $k[\varepsilon]/\varepsilon^2\rightarrow X$ .

En el curso de la construcción, necesito definir un mapa local de anillos locales $\mathcal{O}_x\rightarrow k[\varepsilon]/\varepsilon^2$ . Utilizando $\alpha$ ¿Cuál es la forma natural de definir dicho mapa?

Puede ser útil tener en cuenta que tengo una inyección $k\hookrightarrow\mathcal{O}_x$ que surgen de la $k$ -estructura del esquema en $X$ . Creo que esto lleva a una descomposición $\mathcal{O}_x/\mathfrak{m}_x^2=k\oplus(\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)$ como $k$ espacios vectoriales, de los que se derivaría el mapa deseado, pero no consigo ver explícitamente cuál es esta descomposición dentro de $\mathcal{O}_x/\mathfrak{m}_x^2$ .

Esto forma parte del ejercicio II.2.8 de Hartshorne.

Answer 1

Como usted nota, tiene una inyección $k \hookrightarrow \mathcal{O}_x$ de anillos. Componiendo con la proyección, esto produce una inyección $k \hookrightarrow \mathcal{O}_x / \mathfrak{m}_x^2$ con la propiedad de que la proyección posterior dado un isomorfismo $k \cong \mathcal{O}_x / \mathfrak{m}_x$ (aquí se utiliza la suposición de que $x$ es $k$ -racional). De ello se desprende que $\mathcal{O}_x/\mathfrak{m}_x^2 \cong k \bigoplus \mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2$ para que su $\alpha$ te da el morfismo de anillos locales que necesitas: explícitamente, $(x,y) \mapsto x+\alpha(y) \epsilon$ .