Dejemos que XX sea un esquema sobre un campo kk y que x∈Xx∈X sea un punto racional, es decir, tenemos k(x):=Ox/mx≅k . Sea α:mx/m2x→k sea un elemento de Tx=(mx/m2x)∗ el espacio tangente de Zariski a X en x . Utilizando x y α Me gustaría definir un k -morfismo de esquemas Spec k[ε]/ε2→X .
En el curso de la construcción, necesito definir un mapa local de anillos locales Ox→k[ε]/ε2 . Utilizando α ¿Cuál es la forma natural de definir dicho mapa?
Puede ser útil tener en cuenta que tengo una inyección k↪Ox que surgen de la k -estructura del esquema en X . Creo que esto lleva a una descomposición Ox/m2x=k⊕(mx/m2x) como k espacios vectoriales, de los que se derivaría el mapa deseado, pero no consigo ver explícitamente cuál es esta descomposición dentro de Ox/m2x .
Esto forma parte del ejercicio II.2.8 de Hartshorne.