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Espacio tangente de Zariski y k[ε]/ε2k[ε]/ε2

Dejemos que XX sea un esquema sobre un campo kk y que xXxX sea un punto racional, es decir, tenemos k(x):=Ox/mxk . Sea α:mx/m2xk sea un elemento de Tx=(mx/m2x) el espacio tangente de Zariski a X en x . Utilizando x y α Me gustaría definir un k -morfismo de esquemas Spec k[ε]/ε2X .

En el curso de la construcción, necesito definir un mapa local de anillos locales Oxk[ε]/ε2 . Utilizando α ¿Cuál es la forma natural de definir dicho mapa?

Puede ser útil tener en cuenta que tengo una inyección kOx que surgen de la k -estructura del esquema en X . Creo que esto lleva a una descomposición Ox/m2x=k(mx/m2x) como k espacios vectoriales, de los que se derivaría el mapa deseado, pero no consigo ver explícitamente cuál es esta descomposición dentro de Ox/m2x .

Esto forma parte del ejercicio II.2.8 de Hartshorne.

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Stephen Puntos 6548

Como usted nota, tiene una inyección kOx de anillos. Componiendo con la proyección, esto produce una inyección kOx/m2x con la propiedad de que la proyección posterior dado un isomorfismo kOx/mx (aquí se utiliza la suposición de que x es k -racional). De ello se desprende que Ox/m2xkmx/m2x para que su α te da el morfismo de anillos locales que necesitas: explícitamente, (x,y)x+α(y)ϵ .

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