Una conocida propiedad de dualizable objetos en una categoría monoidal

Question

Considere la posibilidad de un monoidal simétrica categoría, y asumir que es cerrado, es decir, interna Homs existen. Recordemos que un objeto de $X$ es dualizable si la canónica mapa de $X \otimes DX \to \operatorname{Hom}(X,X)$ (obtenido como el medico adjunto del mapa $X \otimes DX \otimes X \to X \otimes 1 \to X$) es un isomorfismo.

Al parecer, es un hecho bien conocido que dualizability de $X$ implica que el mapa de $Y \otimes DX \to \operatorname{Hom}(X,Y)$ (obtenido de forma similar) también es un isomorfismo, para todos los $Y$. Yo no encontrar una completa prueba de este hecho en cualquier lugar.

He intentado yo mismo. Mi primer intento fue el uso de la Yoneda Lema, que fracasó. Más tarde me las arreglé para encontrar un mapa en la dirección opuesta, es decir, una composición $\operatorname{Hom}(X,Y) \to \operatorname{Hom}(X,X) \otimes \operatorname{Hom}(X,Y) \to X \otimes DX \otimes \operatorname{Hom}(X,Y) \to DX \otimes Y$, donde la primera flecha se obtiene a partir de la unidad de la contigüidad y la segunda, de dualizability. Tengo la fuerte sospecha de que esto proporciona una inversa, lo que demuestra el resultado. Que no he mencionado para mostrar esto. Todas las sugerencias se agradece.

Answer 1

Este es un torpe definición de dualizability para probar cosas; entre otras cosas, con la definición correcta no es necesario suponer el cierre, y dualizable objetos, obviamente, son conservados por monoidal functors. Con la definición estándar que implican unidad-counit / evaluación-coevaluation mapas, es claro que siempre tenemos una contigüidad

$$\text{Hom}(X \otimes Z, Y) \cong \text{Hom}(Z, X^{\ast} \otimes Y)$$

(Estoy siendo un poco descuidado acerca de que las cosas deberían ir en la izquierda frente a la derecha porque estamos en un monoidal simétrica categoría; si no nos tendría que ser mucho más cuidadoso). Por otro lado, por la definición de cierre hemos

$$\text{Hom}(X \otimes Z, Y) \cong \text{Hom}(Z, [X, Y])$$

así que hemos terminado por el Yoneda lema.

Queda por demostrar que la definición es equivalente a la definición estándar. El argumento anterior implica que la definición estándar, implica su definición; para ir desde su definición a definición estándar requiere en primer lugar encontrar la evaluación y coevaluation mapas. La evaluación del mapa es el doble de vinculación entre el$X$$DX = [X, 1]$; el coevaluation mapa proviene de la inclusión de la identidad de $1 \to [X, X] \cong X \otimes DX$. No sé la parte superior de mi cabeza cómo se muestran los zig-zag de las identidades, sin embargo.