Algunas preguntas acerca de una prueba

Question

Proposición: una contables de la unión de conjuntos contables es contable.

Prueba: Escribir $X=\bigcup_{i\in\mathbb{N}} A_i$ donde $|A_i|\leq|\mathbb{N}|$ y, sin pérdida de generalidad, $A_i\bigcap A_j=\varnothing$ todos los $i\neq j$. Deje $Q_n=\{q\in\mathbb{Q}:\;n-1< q\leq n\}$$n\geq 1$. Desde $|Q_n|=|\mathbb{N}|$ se puede considerar una inyección de $\phi:\;A_i\to Q_i$ por cada $i$.

A continuación, $\phi: X\to \bigcup_{i\in\mathbb{N}} Q_i=\mathbb{Q}^+$ y, por tanto, $|X|\leq |\mathbb{Q}^+|=|\mathbb{N}|\Rightarrow X$ es contable.

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Esto es bastante nuevo para mí, así que me gustaría comprobar que lo que estoy haciendo es aceptable:

• he usado el axioma de elección?
• está bien que afirman la existencia de una $\phi$, ya que tengo?
• es aceptable el uso de $|\mathbb{Q}|=|\mathbb{N}|$ aquí, o es este un poco circular? (¿es el tradicional "contando a lo largo de las diagonales' argumento (para mostrar la $|\mathbb{Q}|=|\mathbb{N}|$) el uso de la proposición anterior, en el disfraz? $-$ un temor de que esta es la razón por la que no uso el argumento para probar la principal proposición)

Answer 1

1. Sí. Usted han usado el axioma de elección. Elige una inyección de $\phi_i$ por cada $A_i$. Tenga en cuenta que si $|A|=|\Bbb N|$ hay $2^{\aleph_0}$ bijections entre el$A$$\Bbb N$. Eligiendo uno para cada una de las $i$ no es un asunto trivial.

2. No del todo. Cuando escribimos $f\colon X\to Y$ lo que significa que el dominio de $f$$X$. Así que usted debe escribir $\phi_i\colon A_i\to\Bbb Q_i$, entonces a partir de la $A_i$'s de a pares distintos, afirman que $\phi=\bigcup\phi_i$ es una bien definida la función de $X$ a $\Bbb Q$.

3. Está bien usar el hecho de que $\Bbb Q$ $\Bbb N$ son tanto contables. Podemos probar directamente que $\Bbb Q$ es contable, y no podemos usar este teorema para eso.