Demuestra que $\lim_{n\rightarrow \infty}n \big[1-\frac{(n+1)^{n}}{en^{n}}\big]=\frac{1}{2}$

Question

Este es un ejercicio del libro Cálculo de Guidorizzi (en portugués).

Demuestra que $\lim_{n\rightarrow \infty}n \big[1-\frac{(n+1)^{n}}{en^{n}}\big]=\frac{1}{2}.$

Lo único que he conseguido es reescribir la ecuación como $n \big[1-\frac{(1+\frac{1}{n})^{n}}{e}\big]$ .

¿Qué hacer a partir de ahora?

Answer 1

Una pista: $(1+\frac1n)^n=e^{n\log(1+\frac1n)}=e^{1-\frac1{2n}+O(\frac1{n^2})}$ .

Answer 2

$$\log\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = n \log \left(1+\frac{1}{n}\right) = n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)$$ Así, $$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n =e^{1 - \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)} $$ Sustituyendo, tenemos que encontrar $$\lim_{n \to \infty} n\left(1 - \frac{e^{1 - \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)}}{e}\right) = n\left(1-e^{\frac{-1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)}\right)$$ Ahora usando la expansión de $e^x$ , se obtiene $$n\left(1-e^{\frac{-1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)}\right) = n\left(\frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)$$ que tiende a $\frac{1}{2}$ et $n \to \infty$ .