Aplicación de las ODE en el problema de la trayectoria

Question

Me está costando mucho resolver este problema:

Que haya un pueblo $A$ en la orilla de un río. Deja que $x=0$ sea la orilla. Deja que $(0,0)$ sea la ubicación de la ciudad. Sea $B$ ser otra ciudad, en la orilla opuesta, $x=b$ y que la ciudad esté en $(b,0)$ . Supongamos que una persona de la ciudad $A$ va en un barco con velocidad $v$ a $B$ Siempre apuntando a $B$ (ver la imagen), y dejar que el río fluya en la dirección positiva de $y$ con velocidad $u$ . Encuentra la curva que da la trayectoria de la persona en el tiempo.

En un punto arbitrario de la curva siempre habrá un sistema de tres vectores, $v$ , $u$ y $w=v+u$ de la siguiente manera, donde $w$ el vector tangente, es $u+v$ . Su módulo es constante, por lo que como $v+u$ varía, las variables aquí son los ángulos y el módulo. Recuerda que $v$ siempre apunta a $B$ . En la imagen, las longitudes de $v$ y $v_1$ y de $u$ y $u_1$ debería ser el mismo (ya que son el mismo vector).

Puede ver que $v$ está "empujando" para llegar a $B$ pero el vector $u$ siempre modificará $v$ (y por lo tanto del hombre), haciendo que la tangente sea en realidad $w = u+v$ . Las líneas paralelas punteadas son una referencia al ángulo de tangencia, que es el que existe entre la línea punteada y $w$ . Mi enfoque es:

$$ \tan \theta = \frac{dy}{dx}$$

y el módulo de $v+u$ satisfará, siendo una función del tiempo.

$$|| v+u||(t) = \frac{ds}{dt}$$

Sólo necesito entonces encontrar una forma de relacionar el módulo con el ángulo para encontrar la solución.

Otra cosa que se me ocurre es pensar como la solución de una manera paramétrica, por lo tanto, primero encontrar $$\frac{dy}{dt} = f(t) $$ y $$\frac{dx}{dt} = g(t) $$ y luego tomar el cociente e integrar.

Answer 1

Supongo que $|u|$ y $|v|$ son constantes. Como el barco siempre apunta hacia $(b.0)$ sabemos que $$ \frac{v_y}{v_x}=\frac{-y}{b-x}\tag{1} $$ Desde $|v|^2=v_x^2+v_y^2$ podemos cuadrar $(1)$ y añadir $1$ o elevar al cuadrado el recíproco de $(1)$ y añadir $1$ para conseguir $$ \begin{array}{} v_x=|v|\frac{b-x}{\sqrt{(b-x)^2+y^2}}&\text{and}&v_y=|v|\frac{-y}{\sqrt{(b-x)^2+y^2}} \end{array}\tag{2} $$ Como el caudal del río es positivo $y$ dirección, $u_y=|u|$ y $u_x=0$ . La pendiente de la trayectoria es la relación entre el total de $y$ -velocidad al total $x$ -velocidad: $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &=\frac{v_y+u_y}{v_x+u_x}\\ &=\frac{v_y+|u|}{v_x}\\ &=\frac{|u|\sqrt{(b-x)^2+y^2}-|v|y}{|v|(b-x)}\tag{3} \end{align} $$ que se convierte en $$ |v|((b-x)\;\mathrm{d}y-y\;\mathrm{d}(b-x))=-|u|\sqrt{(b-x)^2+y^2}\;\mathrm{d}(b-x)\tag{4} $$ Dividiendo $(4)$ por $(b-x)^2$ y reordenando se obtiene $$ 0=|v|\;\mathrm{d}\frac{y}{b-x}+|u|\sqrt{1+\left(\frac{y}{b-x}\right)^2}\;\mathrm{d}\log\left(b-x\right)\tag{5} $$ Dividiendo $(5)$ por $\sqrt{1+\left(\frac{y}{b-x}\right)^2}$ rinde $$ |v|\;\mathrm{d}\operatorname{arcsinh}\left(\frac{y}{b-x}\right)+|u|\;\mathrm{d}\log(b-x)=0\tag{6} $$ lo que significa $$ |v|\operatorname{arcsinh}\left(\frac{y}{b-x}\right)+|u|\log(b-x)=C|v|\tag{7} $$ lo que lleva a $$ \begin{align} y &=(b-x)\sinh\left(C-\frac{|u|}{|v|}\log(b-x)\right)\\ &=(b-x)\sinh\left(\frac{|u|}{|v|}\log\left(\frac{b}{b-x}\right)\right)\\ &=\frac{b-x}{2}\left[\left(\frac{b}{b-x}\right)^{|u|/|v|}-\left(\frac{b-x}{b}\right)^{|u|/|v|}\right]\tag{8} \end{align} $$ Tenga en cuenta que $$ \lim_{x\to b^-}y=\left\{\begin{array}{}0&\text{if }|u|<|v|\\b/2&\text{if }|u|=|v|\\\infty&\text{if }|u|>|v|\end{array}\right.\tag{9} $$

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Camino de la travesía:

Todas las vías que se indican a continuación, excepto $\dfrac{|u|}{|v|}=1$ El camino de la muerte, que termina directamente al otro lado del río desde el punto de partida, es en su mayoría muy empinado al final. Para $\dfrac{|u|}{|v|}=1$ El barco nunca llega a la otra orilla, pero se limita al punto $\frac12$ la anchura del río aguas abajo.

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Hora de cruzar:

A medida que la velocidad relativa de la corriente se acerca a la velocidad del barco, el tiempo para cruzar la corriente aumenta. Combinando $(2)$ y $(8)$ rinde $$ \begin{align} T &=\int_0^b\frac{\mathrm{d}x}{v_x}\\ &=\frac{1}{|v|}\int_0^b\frac{\sqrt{(b-x)^2+y^2}}{b-x}\;\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{|v|}\int_0^b\sqrt{1+\left(\frac{y}{b-x}\right)^2}\;\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{|v|}\int_0^b\sqrt{1+\frac14\left[\left(\frac{b}{b-x}\right)^{|u|/|v|}-\left(\frac{b-x}{b}\right)^{|u|/|v|}\right]^2}\;\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2|v|}\int_0^b\left[\left(\frac{b}{b-x}\right)^{|u|/|v|}+\left(\frac{b-x}{b}\right)^{|u|/|v|}\right]\;\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2|v|}\left[\frac{b}{1-|u|/|v|}+\frac{b}{1+|u|/|v|}\right]\\ &=\frac{b}{|v|}\frac{1}{1-(|u|/|v|)^2}\tag{10} \end{align} $$ Así, sin corriente cruzada ( $|u|=0$ ), $T=\dfrac{b}{|v|}$ y como $|u|\to|v|$ , $T\to\infty$ ; ambos como se esperaba.

Answer 2

Editar

Esto da una solución a lo que yo entendía que era el problema antes de que el OP lo editara.

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Tenemos un río de ancho $w>0$ . Ciudad $A$ está en la orilla $y=0$ en el punto $(0,0)$ . Ciudad $B$ está en la orilla opuesta, que supongo que es $y=w$ , en el punto $(b,w)$ . Una persona rema desde $A$ a $B$ apuntando siempre en la dirección de $B$ y con velocidad $v$ y tiene que luchar contra una corriente que va de $b$ a $A$ de velocidad $u$ . Sea $(x(t),y(t))$ sea la posición del barco en el momento $t$ . La velocidad que el remero da a la embarcación en este momento es en dirección a $(x,y)$ a $B$ es decir, es proporcional a $(b-x,w-y)$ . Como su módulo es igual a $v$ Debe ser $$ \frac{v}{r}\,(b-x,w-y),\quad r=\sqrt{(b-x)^2+(w-y)^2}. $$ Dejemos que $V=(V_x,V_y)$ sea la velocidad real del barco. Entonces $$ V_x=\frac{v}{r}\,(b-x)-u,\quad V_y=\frac{v}{r}\,(w-y). $$ Esto conduce al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: $$\begin{align*} x'&=\frac{v}{r}\,(b-x)-u,\\ y'&=\frac{v}{r}\,(w-y), \end{align*}\tag1$$ junto con las condiciones iniciales $x(0)=y(0)=0$ . El sistema es equivalente a la ecuación $$ \frac{dy}{dx}=\frac{w-y}{b-x-\dfrac{u}{v}\,\sqrt{(b-x)^2+(w-y)^2}},\quad y(0)=0.\tag2 $$ El cambio $z=w-y$ , $t=b-x$ la transforma en una ecuación homogénea, que puede ser resuelta explícitamente. Obsérvese que $$ v\,\frac{b}{\sqrt{b^2+w^2}}<u\implies \frac{dx}{dt}(t=0)<0, $$ y el barco comenzará a alejarse de $B$ . Si $v$ no es demasiado pequeño, al cabo de un rato el barco girará y se dirigirá hacia $B$ . En este caso, el sistema (1) y la ecuación (2) no son equivalentes.

Así son las trayectorias del barco

En el problema tal y como lo planteas, la corriente parece ir perpendicular de una orilla a la otra. Si esto es lo que realmente quieres, todo lo que tienes que hacer es tomar el término $-u$ de la primera ecuación de (1) a la segunda.