Isbell, la dualidad entre el$\text{Set}$$\text{Set}^{\text{op}}$.

Question

Proporciona una pequeña categoría $G$, el Isbell, la dualidad se establece una contigüidad:

$$\text{Set}^{G^{\text{op}}} \leftrightarrows (\text{Set}^{G})^{\text{op}}. $$

Ambos mapas se pueden calcular como Kan extensiones. Llame a $y : G \to \text{Set}^{G^{\text{op}}} $ $y^{t}: G \to (\text{Set}^{G})^{\text{op}} $ el Yoneda incrustaciones, entonces uno puede obtener las dos adjoints como $\text{Lan}_y y^t$ $\text{Lan}_{y^t} y.$

Estoy interesado en un especial de cálculo de estos mapas. Elija $G$ a ser el terminal de la categoría, por lo que estamos buscando en la contigüidad:

$$\text{Set} \leftrightarrows \text{Set}^{\text{op}} .$$

Hay una presentación explícita de estos dos adjuntos functors?

Answer 1

Cada conjunto es un subproducto de puntos, y la izquierda adjunto se envía el punto a sí mismo, por lo que envía cualquier conjunto a un producto de puntos, es decir, es constante. Del mismo modo, o por contigüidad, el derecho adjoint es constante. Hay un error en su tratamiento: el opuesto de la categoría de conjuntos es la libertad de la finalización de un punto debajo de los límites, y así el derecho adjuntos deben ser definidas por el derecho Kan extensión a lo largo de $y^t$.