El conjunto cero de sumas de polinomios

Question

Como soy nuevo en este foro, por favor corregidme si este post no es apropiado. En ese caso me disculpo.

Dejemos que $P(z)$ y $Q(z)$ sean polinomios con coeficientes en $\mathbb{C}$ Además, dejemos que $Z(P)$ y $Z(Q)$ denotan sus conjuntos cero. Lo que se puede decir sobre $Z(P+Q)$ ?

Sin imponer más restricciones a $P$ y $Q$ . Veo que $Z(P) \cap Z(Q) \subset Z(P+Q)$ . O si además suponemos que uno de los polinomios domina $P+Q$ en el sentido de que $|P(z)|\geq|P(z)+Q(z)|$ para todos $z\in \mathbb{C}$ , entonces claramente también $Z(P)\subset Z(P+Q)$ se mantiene.

Sin imponer restricciones demasiado duras (muy vagas, lo sé) a los polinomios implicados, ¿qué se puede decir?

Por último, agradezco mucho cualquier ayuda que me puedan prestar.

Answer 1

Dudo mucho que se pueda decir algo en general, y aquí hay un argumento muy heurístico.

Dejemos que $f(z)=a_9z^9+...+a_1z+a_0$ sea cualquier polinomio de grado como máximo 9.

Dejemos que $P(z)=a_9z^9+...+a_5z^5=z^5(a_9z^4+...+a_6z+a_5)$ y que $Q(z)=a_4z^4+...+a_1z+a_0$

Entonces $Z(P)$ y $Z(Q)$ son bien conocidos, y pueden ser calculados con radicales, mientras que $Z(P+Q)$ no se puede calcular en general con los radicales....

P.D. Mientras que $P,Q$ tienen un comportamiento asintótico bastante diferente, esto también se puede arreglar:

$$f(z)=a_5z^2+...+a_1z+a_0= (\frac{a_5}{2}z^5+a_0)+(\frac{a_5}{2}z^5+a_4z^4+...+a_1z)$$

P.P.S. Esto implica que para esos ejemplos $Z(P+Q) \cap {\mathbb Q}(Z(P),Z(Q)) = \emptyset$ . En cualquier caso, los resultados del tipo bajo ciertas condiciones $Z(P+Q)$ es un subconjunto del casco convexo de $Z(P) \cup Z(Q)$ podría sostenerse, el Teorema de Roche es lo más cercano que se me ocurre..