Elegante prueba de icosohedron propiedad

Question

Este problema se pregunta A1 en el 2013 Putnam concurso. Existe una mejor manera de resolver este problema que la utilización del principio del palomar? Específicamente, hay un grupo de teóricos de la manera de interpretar este problema? El problema va:

"Hay que recordar que un regular icosohedron es un poliedro convexo tiene 12 vértices y 20 caras, las caras de congruencia de triángulos equiláteros. En cada cara de un regular icoshedron se escribe un número entero no negativo tal que la suma de 20 números enteros es 39. Muestran que hay dos caras que comparten un vértice y tienen el mismo número entero escrito en ellos."

Answer 1

Cada cara toques $3$ vértices, así que cada número puede aparecer en la mayoría de las $4$ veces (si no desea que los vértices con dos caras que comparten el mismo número). Ahora, considere el mínimo de llenado de número que se podría hacer de esta manera, sólo el uso de $0,1,2,3$$4$, cada uno de ellos aparecen exactamente $4$ veces: $$4\cdot(0+1+2+3+4)=40$$ Esto implica que al menos uno de los números de $0$ $3$deben aparecer al menos dos veces.