Uniqness de conjuntos con cierta propiedad

Question

deje $\kappa$ ser un cardenal y deje $A \subseteq \{X \subseteq \kappa: |X| = 2 \}$ ser un conjunto con el propety:

"para cada uno de los distintos par de conjuntos de $B,C \subseteq \kappa$ con cardinalidad < $\kappa$ existe $\alpha \in \kappa - (B \cup C) $ tal que para cada $\beta \in B , $ $\{\alpha,\beta\} \in A$ y para cada $\gamma \in C $ , $\{\alpha,\gamma\} \notin A$"

ahora suponga $A'$ compartir también la de arriba propery, tengo que probar la existencia de una función invertible $f:\kappa \rightarrow \kappa$ tal que para cada una de las $\alpha,\beta \in \kappa$ el siguiente se tiene: $\{\alpha,\beta\} \in A $ fib $\{f(\alpha),f(\beta)\} \in A' $

Realmente no tengo idea de por donde empezar, alguna ayuda?

Answer 1

Definir $f$ inductivamente en $\kappa$. Supongamos que $f \restriction \beta$ ha sido definido de forma adecuada. Conjunto $$\begin{gather} B = \{ \alpha < \beta : \{ \alpha , \beta \} \in A \} \\ C = \{ \alpha < \beta : \{ \alpha , \beta \} \notin A \}. \end{reunir}$$ Ahora hay un $\delta\in \kappa \setminus ( f [ B ] \cup f [ C ] )$ tal que $$\begin{gather} ( \forall \alpha \in B ) ( \{ f(\alpha) , \delta \} \in A^\prime ) \\ ( \forall \alpha \in C ) ( \{ f(\alpha) , \delta \} \notin A^\prime ) \\ \end{reunir}$$ así que nos pusimos $f(\beta) = \delta$.

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Si, en lugar de exigir que $f$ es bijective, a continuación, proceder en su mayoría como en el anterior, pero en lugar inductivamente construir una secuencia $\langle f_\beta \rangle_{\beta < \kappa}$ de las funciones que

1. $f_\beta$ es inyectiva;
2. $\beta \subseteq \mathrm{dom} ( f_\beta )$;
3. $\beta \subseteq \mathrm{ran} ( f_\beta )$;
4. $\{ \alpha , \gamma \} \in A$ fib $\{ f(\alpha) , f(\gamma) \} \in A^\prime$ todos los $\alpha , \gamma \in \mathrm{dom} ( f_\beta )$; y
5. $f_\beta \supseteq f_\delta$ $\delta \leq \beta$.

(Esto debe ser una reminiscencia de la de ida y vuelta argumento para demostrar que todos los densos lineal órdenes sin extremos son el fin de isomorfo.)

En el límite de medidas que acaba de tomar a los sindicatos.

Si $f_\beta$ está adecuadamente definido primero se definen $f_\beta^\prime$ a extender $f_\beta$, de modo que $\beta \in \mathrm{dom} (f_\beta^\prime)$ y todavía satisface (1) y (4) anteriores. El próximo ampliamos $f_\beta^\prime$$f_{\beta + 1}$, de modo que $\beta \in \mathrm{ran} (f_{\beta+1})$ y también satisface (1) y (4). Los detalles de estas extensiones son muy similares a lo que he señalado anteriormente, y por lo omitiré.