¿Existe un modelo de $ZF¬C$ en el que hay una función de $f:\mathbb R \to \mathbb R$ tal que $f$ es secuencialmente continua en algunos $a \in \mathbb R$ pero no $\epsilon-\delta$ continuo , es decir, para cualquier secuencia $\{x_n\}$ convergentes a $a$ , $\lim f(x_n)=f(a)$ pero todavía $f$ no es continua en a $a \in \mathbb R$ ?
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- La continuidad y el Axioma de Elección (2 respuestas )
Respuesta
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ManuelSchneid3r
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Esto es ciertamente posible para un punto concreto: Supongamos que hay un infinito, Dedekind-conjunto finito de reales $A$. A continuación, vamos a $f$ ser la característica de la función de $A$. Desde $A$ no puede ser cerrado (conjunto perfecto de la propiedad), vamos a $a$ estar en el cierre de $A$, pero no en $A$. A continuación, $f$ es secuencialmente continua en $a$ (desde el no $\omega$-secuencia de elementos de $A$ existe), pero no continuo en $A$. De hecho, $f$ es secuencialmente continua exactamente en los puntos que no están en $A$, y continua exactamente en los puntos que no están en el cierre de $A$.
(Por supuesto, es sencillo para mostrar en ZF solo que cualquier $0-1$ valores de la función que es secuencialmente continua es continua.)
Sin embargo, en ZF solo, si $f$ es secuencialmente continua en todas partes , entonces en realidad debe de ser continua.
Supongamos $f$ es secuencialmente continua en todas partes, pero discontinua en $a$. Desde $\mathbb{Q}$ es densa y bien solicitar, para cada una de las $\epsilon>0$ debe haber un $\delta>0$ tal que $$\forall q\in\mathbb{Q}(\vert q-a\vert<\delta\implies \vert f(q)-f(a)\vert<\epsilon).$$ Fix a function $m$ mapping each $\epsilon$ to an appropriate $\delta$ (say, by taking the sup of the $\delta$s that work and dividing by $2$). Say that a real $r$ is bad if $\vert r-\vert<m(\vert {f(r)-f(a)\over 2}\vert)$. Such a real $r$ must exist since $f$ is continuous at $$. But now any sequence of rationals approaching $r$ testigos de la falta de continuidad secuencial.
Lo que queda abierto: es que no me queda claro que "secuencialmente continua en un punto implica la continua en ese punto", es en realidad equivalente a "no es Dedekind-finito conjunto infinito de reales," que es estrictamente más débiles que los contables de elección para los reales (de los cuales el más evidente es el límite superior).
