Cómo construir una cierta cobertura de $\mathbb P^1_{\mathbb C}$ en un promedio ponderado de espacio proyectivo

Question

Deje $b_1, ..., b_n \in \mathbb C$ $n \geq 2$ puntos distintos y $p(x) = \prod_{i=1}^n (x-b_i)$. A $p$ corresponde a $d$veces cíclica cubriendo $\pi\colon X \to \mathbb P^1_{\mathbb C}$.

En pocas palabras, mi pregunta es:

¿Cómo puedo obtener/construcción $X$?

Más precisamente:

Para completar para el cubrimiento de las $P^1_{\mathbb C}$, debería homogeneizar la ecuación de $y^d = p(x)$, es decir, puedo obtener una ecuación de $$y^d = \prod_{i=1}^n (x-b_iz)z^a$$ para algunos $a \in \mathbb Z$. Ahora, dicha curva es singular, por lo que tengo a normalizar para que sea suave.

A partir de la teoría de hyperelliptic curvas sé que tal la normalización de la vida en un promedio ponderado de espacio proyectivo. Concretamente, si $d = 2, n = 2g+2, g \geq 2, a = 0$, la ecuación anterior da una curva suave en el promedio ponderado de espacio proyectivo $\mathbb P (x,y,z) = \mathbb P (1,g+1,1)$. Similarmente, si $d = 2, g \geq 2$ pero $n = 2g+1$, elijo $a = 1$ y obtener de nuevo una curva suave en $\mathbb P (1,g+1,1)$.

Yo siempre he usado este como una caja negra, pero ahora quiero entender si se trata de un principio de mayor generalidad. Así que mis preguntas son:

1. Puede una cosa similar como para hyperelliptic curvas de ser realizado en la mayor generalidad descrito anteriormente?

Las siguientes dos preguntas asumir que la respuesta a la pregunta 1 es positiva, lo que me espera.

2. ¿Cómo elijo $a$?
3. Al $a$ es elegido, es la normalización de la curva de $\{y^d = \prod_{i=1}^n (x-b_iz)z^a\} \subset \mathbb P^2_{\mathbb C}$ obtenido por la misma ecuación en algunos ponderado proyectiva del espacio? Si es así, ¿cuáles son los pesos (me siento como $x$ $z$ deben tener la misma pesos)?

Gracias de antemano por las respuestas y la ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Para dar un $d$veces cíclico de la cobertura de un esquema de $S$ es equivalente a dar una línea de paquete de $L$ $S$ y un morfismos $s \colon L^d \to \mathcal{O}_S$, entonces el cero, el locus de la morfismos es la rama divisor de la cubierta.

De hecho, dado $(L,s)$ uno puede tomar $$ X = Spec_{S}(\mathcal{S}_S \oplus L \oplus \dots \oplus L^{d-1}) $$ con el álgebra de la estructura en el lado derecho inducida por $s$.

A la inversa, dada una cíclico cubriendo $p \colon X \to S$, la gavilla $p_*\mathcal{O}_X$ tiene una estructura natural de regular la representación de $\mu_d$ (el grupo de $d$-th raíces de la unidad), por lo tanto se descompone como suma directa de $$ p_*\mathcal{S}_X = L_0 \oplus (L_1 \otimes \chi) \oplus \dots \oplus (L_{d-1} \otimes \chi^{d-1}), $$ donde $\chi$ es el estándar de caracteres de $\mu_d$. El natural de álgebra de la estructura de este haz es $\mu_d$-equivariant, por lo tanto $L_i \cong L^i$$L = L_1$, y la multiplicación induce el mapa de $s$.

En su caso, $S = \mathbb{P}^1$, lo $L$ debe $\mathcal{O}(-k)$ algunos $k$, y el $s$ es un mapa de $\mathcal{O}(-kd) \to \mathcal{O}$. Desea que los puntos $b_i$, en la rama de locus, por lo tanto $s$ debe desaparecer en estos puntos (con multiplicidad).

Si $n$ es divisible por $d$ usted puede tomar $k = n/d$, entonces la estructura cíclica que cubre $X$ será ramificada sólo a través de la $b_i$, e $X$ será suave.

Si $n$ no es divisble por $d$ usted puede tomar $k = \lceil k/d \rceil$ pero, a continuación, $s$ también tendrá a desaparecer en algunos otros puntos de $\mathbb{P}^1$. Tenga en cuenta que si $s$ tiene múltiples puntos de fuga, a continuación, $X$ es singular (se ve localmente como $y^d = x^2$), así que si quieres mantener el $X$ liso y no permitir que cualquier otros puntos de ramificación lejos de $\infty$, usted tiene que asumir $$ n \equiv 0 \bmod d \qquad\text{o}\qquad n \equiv 1 \bmod d. $$