La operación binaria $\dim\hom_G$ se comporta como un "producto interior" en las representaciones de la $G$. En particular, cada representación de $G$ es una suma directa de irreps $U_1,\cdots,U_k$ y
$$\dim\hom_G(U_1^{e_1}\oplus\cdots\oplus U_k^{e_k},U_1^{f_1}\oplus\cdots\oplus U_k^{f_k})=e_1f_1+\cdots+e_kf_k.$$
Esto se desprende de la distributividad de $\hom$ y Schur del lexema. Como resultado, uno puede usar homs para sifón a cabo las multiplicidades de los más conocidos irreps en un determinado rep. Si $V\cong U_1^{e_1}\oplus\cdots\oplus U_k^{e_k}$ a un desconocido multiplicidades $e_1,\cdots,e_k$, entonces podemos equiparar con las dimensiones de los hom espacios a través de la regla de $e_i=\dim\hom_G(U_i,V)$.
A partir de aquí, tenga en cuenta que $\hom(U,V)\cong U^*\otimes V$ (para un finito-dim espacios). En efecto, dado un elemento arbitrario $\varphi\otimes v\in U^*\otimes V$, actúa como una función de $U\to V$ dejando el vector dual de $U^*$ ley sobre el argumento, dando un escalar que uno puede multiplicar $v$, es decir,$(\varphi\otimes v)(u)=\varphi(u)v$.
Por otra parte, cuando se $U$ $V$ $G$- reps, $G$ actúa en $\hom(U,V)$ través $g:A\mapsto gAg^{-1}$. Mi notación aquí es la abreviatura de $\rho_{\small V}(g)A\rho_{\small U}(g)^{-1}$ técnicamente. Y, por supuesto, $G$ actúa en $U^*$ por el contragredient acción, y por lo $G$ actúa en $U^*\otimes V$ "en diagonal." Uno de los cheques de la mencionada isomorfismo $\hom(U,V)\cong U^*\otimes V$ es una de las representaciones. Por lo tanto, podemos decir
$$\chi_{\hom(U,V)}(g)=\chi_{\small U^*\otimes V}(g)=\chi_{\small U^*}(g)\chi(g)=\overline{\chi_{\small U}(g)}\chi_{\small V}(g).$$
Ahora, $\hom_G(U,V)=\hom(U,V)^G$, y uno puede calcular $\dim W^G$ arbitrarias de los rep $W$ el uso de caracteres de forma explícita. De hecho, el operador $\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\rho_{\small W}(g)\in{\rm End}(W)$ uno puede comprobar es una proyección sobre el subespacio de invariantes $W^G$. La imagen de cualquier proyección de dimensión igual a la proyección de la traza, por lo $\dim(W^G)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_{\small W}(g)$.
Finalmente, a través de Frobenius de la reciprocidad, tenemos
$$\begin{array}{ll} e_i & =\dim\hom_G(U_i,{\rm Ind}_H^GV) \\ & =\dim\hom_H({\rm Res}_H^G U_i,V) \\ & \displaystyle =\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}\overline{\psi_i(h)}\chi_{\small V}(h). \end{array}$$
