Imágenes continuas de abrir los conjuntos de Borel?

Question

Considere la posibilidad de un espacio polaco $(X,d)$ y cualquier espacio métrico $(Y,e)$. Si tenemos un continuo surjection $f:X\to Y$, entonces, la imagen de la $f(U)$ de cualquier subconjunto $U\subset X$ un conjunto de Borel en $Y$?

Sé que esto es cierto si nos permitir $X$ a ser compacta, ya que cada subconjunto abierto de un espacio métrico es $F_{\sigma}$ y cerró los subconjuntos de un espacio métrico compacto, compacto, y además continua de imágenes de conjuntos compactos es compacto. Así que en este caso, la imagen de un conjunto abierto sería $F_{\sigma}$$Y$.

Si este no es el caso de la $f$, tendría ninguna diferencia si permitimos $Y$ a de ser, además, el polaco? O compacta? O debe $f$ tienen más propiedades? Cómo acerca de $X$? O es simplemente una tontería que he pasado por alto?

Gracias por todas las entradas por adelantado.

Answer 1

La respuesta es no. Dotar tanto $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}$ con la habitual Borel $\sigma$-álgebra y deje $\pi_1:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ ser la proyección sobre la primera coordenada. Ahora es un hecho bien conocido que existe conjuntos de Borel $B\subseteq\mathbb{R}^2$ tal que $\pi_1(B)$ no es Borel. Ahora $B$ será en general no se abra, pero podemos hacer que sea así. Acabamos de aplicar el siguiente teorema (Lema 4.58 en Alipranits Y Frontera de 2006):

Deje $\mathcal{C}$ ser una contables de la familia de subconjuntos de Borel de un espacio polaco $(X, \tau)$. Entonces no es un polaco topología $\tau'\supseteq\tau$ $X$ con el mismo Borel $\sigma$-álgebra para que cada conjunto en $\mathcal{C}$ es a la vez abierto y cerrado.

En particular, podemos hacer $B$ abierto. A continuación, $B$ es abierto y $\pi_1$ es un continuo surjection, sino $\pi_1(B)$ no Borel. Ya que se puede tomar $B$ en el espacio original para ser acotado, el ejemplo funciona incluso cuando $Y$ es compacto.

Answer 2

Veo que Michael Greinecker ha dado primacía de la idea en la que yo estaba trabajando; he puesto esto sólo porque contiene un poco más de detalle acerca de la retopologizing, ya que yo no sabía que el general lexema que Michael citas y tenía que hacer mi propio camino en ese punto.

Deje $\mathscr{N}=\omega^\omega$ con el producto de la topología $\tau$. Deje $d$ ser cualquier completar métrica en $\omega^\omega$ que genera $\tau$ y está delimitado por la $1$. Deje $F$ ser un subconjunto cerrado de $\mathscr{N}$, y definir una nueva métrica $\rho$ $\omega^\omega$ como sigue:

$$\rho(x,y)=\begin{cases} d(x,y),&\text{if }x,y\in F\text{ or }x,y\in\mathscr{N}\setminus F\\ 2,&\text{otherwise}\;. \end{casos}$$

Es fácil comprobar que $\rho$ es una métrica. Deje $\tau_\rho$ ser la topología en $\omega^\omega$ generado por $\rho$, y deje $X$ $\omega^\omega$ con la topología $\tau_\rho$. Claramente $F$ es clopen en $X$. Cualquier $\rho$-Cauchy secuencia debe ser, finalmente, en $F$ o en $X\setminus F$ y por lo tanto debe ser $d$-Cauchy, por lo $\langle X,\rho\rangle$ es completa. Por otra parte, $\tau_\rho$ es sólo la combinación de $\tau$$\{\varnothing,F,\mathscr{N}\setminus F,\mathscr{N}\}$, por lo que es segundo contable, y $X$ es por lo tanto un polaco espacio en el que se $F$ es un clopen conjunto.

Ahora vamos a $A\subseteq\mathscr{N}$ ser analítico, pero no Borel. Debido a $A$ es analítica, no es un cerrado $H\subseteq\mathscr{N}\times\mathscr{N}$ tal que $A=\pi_0[H]$ donde $\pi_0:\mathscr{N}\times\mathscr{N}\to\mathscr{N}:\langle x,y\rangle\mapsto x$. Deje $h:\mathscr{N}\to\mathscr{N}\times\mathscr{N}$ ser un surjective homeomorphism, y deje $F=h^{-1}[H]$. Aplicar la construcción del primer párrafo de esta $F$. A continuación, $f\triangleq\pi_0\circ h:X\to\mathscr{N}$ es continua, y $f[F]=A$, lo $A$ es un no-Borel imagen de la clopen set $F$ en el espacio polaco $X$.

Answer 3

Por otro lado, si $Y$ es polaca y $f$ es un contable para uno de Borel mapa, a continuación, la imagen de cada conjunto de Borel es Borel.