En qué sentido la composición es un producto tensorial

Question

Dejemos que $\Phi\colon U\to V$ y $\Psi\colon V \to W$ sean operadores lineales, y consideremos su composición $$ \Psi\circ \Phi $$

La operación, $$\circ:\mathcal{L}(U,V)\times\mathcal{L}(V,W)\to \mathcal{L}(U,W)\\ (\Phi,\Psi)\mapsto \Psi\circ \Phi $$ es bilineal. Así que espero que podamos entender $\Psi$ y $\Phi$ identificado (por $\iota$ ) dentro de un espacio tensorial $T$ tal que $$ \Psi\circ\Phi= \iota(\Psi \otimes \Phi)\ . $$ Sin embargo, no puedo averiguar qué $T$ debería ser.

Answer 1

Sí, de hecho el producto tensorial $U^*\otimes V$ se puede identificar a $\mathcal{L}^{fin}(U,V)$ el espacio de los operadores de rango finito. Ahora, con una topología adecuada ( la convergencia puntual, $V$ estando dotado de la topología discreta, por decirlo explícitamente ) se tiene $$ \mathcal{L}(U,V)\cong U^*\hat\otimes V $$
entonces, a nivel de operadores de rango finito, su composición, $$ \circ : \mathcal{L}^{fin}(U,V)\otimes \mathcal{L}^{fin}(V,W)\rightarrow \mathcal{L}^{fin}(U,W) $$ se lee como la contracción de la traza de los factores 2-3 de la siguiente manera $$ U^*\otimes (V \otimes V^*)\otimes W\ . $$ Esto pasa a la finalización.

Así que este era el esquema general. Entremos ahora en los detalles

El isomorfismo $\mathcal{L}^{fin}(U,V)\cong U^*\otimes V$
Uno tiene una flecha natural $j_{U,V} : U^*\otimes V\rightarrow \mathcal{L}(U,V)$ dado por $j_{U,V}(f\otimes v)[x]=f(x)v$ como se ha señalado en los comentarios. Su imagen es $\mathcal{L}^{fin}(U,V)$ ya que es fácil ver que $Im(j_{U,V})\subset \mathcal{L}^{fin}(U,V)$ . Para cada $T\subset V$ de dimensión finita, se construye una sección aproximada de $j_{U,V}$ mediante una base finita ${t_j}_{j\in J}$ de $T$ a $\phi\in \mathcal{L}^{fin}(U,V)$ con imagen en $T$ , establecemos $$ s_T(\phi)=\sum_{j\in J}(t_j^*\circ \phi)\otimes t_j $$
donde $t_j^*$ es la familia de coordenadas (es decir $t_j^*(t_i)=\delta_{ij}$ ). Se puede demostrar que $s_T$ no depende de la base elegida y que el $s_T$ se extienden entre sí (sistema inductivo). Así que el ajuste $s=\lim_{T\rightarrow V}s_T$ obtenemos una sección de $j_{U,V}$ que es, de hecho, el isomorfismo inverso.

Topología en $\mathcal{L}(U,V)$ . Dotación $V$ con la topología discreta y $\mathcal{L}(U,V)$ con la convergencia puntual, obtenemos el criterio de que $(f_\alpha)_{\alpha\in A}$ ( $A$ es un conjunto supeditado) tiende a cero si $$ (\forall u\in U)(\exists B\in A)(\alpha\geq B\Longrightarrow f_\alpha(u)=0) $$ asimismo, se tiene el criterio de sumabilidad $(f_i)_{i\in I}$ es sumable si $$ (\forall u\in U)(\exists F\subset_{finite} I)(i\notin F\Longrightarrow f_i(u)=0) $$ uno puede ver de inmediato que podemos considerar $\sum_{i\in F}f_i(u)$ como límite y comprobar que el mapa $u\rightarrow \sum_{i\in F_u}f_i(u)$ ( $F$ depende de $u$ ) es lineal. Llamemos $l$ este mapa. Podemos demostrar fácilmente que $l=lim_{F\rightarrow_{finite} I}$ y tenemos $l=\sum_{i\in I}f_i$ .

Representación de $\mathcal{L}(U,V)$ como $U^*\hat\otimes V$

Con la topología anterior se puede demostrar que

1. $\mathcal{L}(U,V)$ está completo
2. $\mathcal{L}^{fin}(U,V)$ es denso en $\mathcal{L}(U,V)$ sigue llamando $j_{U,V}$ la incrustación $U^*\otimes V\rightarrow \mathcal{L}(U,V)$ se obtiene una topología sobre el producto tensorial y su terminación da el isomorfismo $$ j_{U,V}: U^*\hat\otimes V\cong \mathcal{L}(U,V) $$ (por un pequeño abuso del lenguaje, todavía lo notamos $j_{U,V}$ ).

Cálculos concretos Podemos dar dos expresiones para la inversa de $j_{U,V}$ (representación de mapas lineales). Sea $(u_i)_{i\in I}$ (resp. $(v_j)_{j\in J}$ ) sea una base de $U$ (resp. $V$ ), entonces, para cualquier $\phi\in \mathcal{L}(U,V)$ las familias $$ \Big(u_i^*\otimes \phi(u_i)\Big)_{i\in I}\ ;\ \Big((v_j^*\circ \phi)\otimes v_j)\Big)_{j\in J} $$
son sumables y sus sumas son $\phi$ Por lo tanto $$ \phi=\sum_{i\in I}u_i^*\otimes \phi(u_i)=\sum_{j\in J}(v_j^*\circ \phi)\otimes v_j \qquad (2) $$
(donde, en aras de la expresividad, por un pequeño abuso del lenguaje, identificamos los tensores a su imagen a través de $j_{U,V}$ )

Continuidad de la composición

Para las topologías mencionadas, la composición $$ \circ : \mathcal{L}^{fin}(U,V)\otimes \mathcal{L}^{fin}(V,W)\rightarrow \mathcal{L}^{fin}(U,W) $$ es continua (es decir, continua por separado y continua conjuntamente en $(0,0)$ ), se extiende a las terminaciones como la habitual $\circ$ . Esto demuestra por isomorfismos que el operador de traza habitual (entre los factores segundo y tercero) $$ tr_{23}:(U^*\otimes V)\otimes (V^*\otimes W)\rightarrow U^*\otimes W $$ se extiende como $$ \hat{tr}_{23}:(U^*\hat\otimes V)\otimes (V^*\hat\otimes W)\rightarrow U^*\hat\otimes W $$ dando la interpretación de la composición como una contracción tensorial. Para saber concretamente $\hat{t_{23}}$ lo mejor es tomar una base de $V$ y utilizar la segunda representación para $\phi$ y el primero para $\psi$ se obtiene $$ \hat{t_{23}}\Big(\sum_{(i,j)\in I^2}(v_i^*\circ \phi)\otimes v_i)(v_j^*\otimes \psi(v_j)\Big)=\sum_{i\in I}(v_i^*\circ \phi)\otimes \psi(v_i) $$ que representa $\psi\circ\phi$ .

Nota Le di el esquema (un montón de nociones apilados, pero no muy difícil cada uno), todos pueden ser desplegados a petición.

% $$\require{AMScd} %\begin{CD} %\Gamma(X,\mathcal O_X) @>>> \mathcal O_{X,x}\\ %@AAA @AAA \\ \Gamma(Y,\mathcal O_Y) @>>> \mathcal O_{Y,f(x)} %\end{CD}$$