La construcción de un isomorfismo de los productos del grupo

Question

Para introducir algún simbolismo en aras de la claridad, aquí es el problema al que me enfrento en una tarea:

Encontrar un ejemplo de cuatro grupos de $A,B,C,D$ tales que $$A \times B \cong C \times D$$ pero, al mismo tiempo, ni de $A,B$ son isomorfos a cualquiera de $C,D$.

Me siento como que me tocó en un medio posible de solucionar esto, pero no estoy seguro de que es suficiente o correcta, e incluso si se está construyendo el isomorfismo es probar ... no es demasiado fácil.

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Motivación Inicial:

Así, sabemos que: para los dos grupos isomorfos, necesaria - pero no suficiente! -condición (como se señaló y demostrado aquí) es que su subyacente conjuntos tienen la misma cardinalidad. Lo tomé como una especie de punto de partida para iniciar la búsqueda de esos grupos. Así que, en este problema, yo ahora pretenden $A,B,C,D$ tales que

$$|A \times B| = |C \times D| = |A|\cdot |B| = |C| \cdot |D|$$

Por lo que parece suficiente para pensar de $|A\times B|=|C \times D| = n$ para $n$ finito, y encontrar los factores de $a,b,c,d$ de $n$ tales que

$$n=ab=cd$$

donde $a,b,c,d$ son los factores de la $n$, y a las órdenes de los grupos de $A,B,C,D$. En mi caso, $n=12$ parece un ejemplo práctico, como

$$12 = 2\cdot 6 = 3 \cdot 4$$

Algunos de los primeros grupos que vienen a la mente de los pedidos correspondientes, cada uno con modular, además,

$$A = \Bbb Z / 2 \Bbb Z \;\;\;\;\;B = \Bbb Z / 6 \Bbb Z \;\;\;\;\;C = \Bbb Z / 3 \Bbb Z \;\;\;\;\;D = \Bbb Z / 4 \Bbb Z$$

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Problemas en Lo que Sigue:

Así que lo que queda es construir un isomorfismo $f : (\Bbb Z / 2 \Bbb Z \times \Bbb Z / 6 \Bbb Z) \to (\Bbb Z / 3 \Bbb Z \times \Bbb Z / 4 \Bbb Z)$ y demostrar que lo es, pero estoy ejecutando en problemas allí, nada parece funcionar, al menos muy bien. También he intentado mostrar cada producto se isomorfo a $\Bbb Z / 12 \Bbb Z$ pero se encontró con el mismo problema fundamental.

Así que supongo que este producto no es la más fácil de tratar. De hecho yo también lo intentó un poco más simple

$$A = \Bbb Z / 2 \Bbb Z \;\;\;\;\;B = \Bbb Z / 2 \Bbb Z \;\;\;\;\;C = \Bbb Z / 4 \Bbb Z \;\;\;\;\;D = \Bbb Z / 1 \Bbb Z = \langle e \rangle$$

pero yo no podía construir una buena función que no dependen de un montón de casos en demostrar que es un isomorfismo. Acaso hay una función que estoy con vistas, o más fácil que el conjunto de productos?

Answer 1

¿Por qué no ajustar su intento, a $C_1×\Bbb Z_{12}\cong \Bbb Z_3×\Bbb Z_4$, ahora que sabía que era incorrecto.

Hay un montón de ejemplos como este, se puede ver después de la otra respuesta.

Answer 2

Es más fácil encontrar ejemplos de números de tener dos diferentes factorizations, con tanto "diferente de unos a otros".

Tomar, por ejemplo, 4 distintos números primos $p,q,r,s$. Deje $n$ ser su producto.

Ahora defina $a=pq$ e $b=rs$. Por lo $n=ab$. Ahora defina $c=pr$ e $d= qs$. Todavía tenemos $n=cd$. Claramente, ambos son dos distintas factorizations. $ab=cd$ con $a\neq c,d$ e $b\neq c,d$.

Ahora sustituir cada número entero anterior por grupos cíclicos de orden, y reemplazar cada factorización de dos números, por producto directo de los grupos correspondientes, y nos pondremos ejemplos que usted está buscando.

Ejemplo concreto: para los cuatro números primos, $2,3,5,7$, su producto es $210$. Usando la notación $C_n$ para un grupo cíclico de orden $n$, vemos que $$ C_{210}\cong C_6\times C_{35}\cong C_{10}\times C_{21}$$

Estamos utilizando el hecho de que para los dos finito cíclico grupos de coprime órdenes, su producto directo es de nuevo un grupo cíclico.

Todo esto es elemental a la teoría de números. Ejemplos de la participación no abelian grupos sería un poco más difícil y sería real de la teoría de grupos.

Answer 3

El problema es que $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ no es isomorfo a $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, y ninguno de ellos son isomorfos a $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$. El único momento en que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/(nm)\mathbb{Z}$ es al $n$ e $m$ son relativamente primos. Este hecho debería ayudar a llegar a un ejemplo que funciona.