Resolver $y'' + 4y = e^{-x^2}$ utilizando las transformadas de Fourier

Question

Necesito resolver la ecuación $y'' + 4y = e^{-x^2}$ utilizando las transformadas de Fourier. Pude tomar la transformada de Fourier de ambos lados y resolver para $\hat y$ . Tengo $\hat y = \frac{e^{-k^2/4}}{\sqrt{2}(4-k^2)}$ . Es de suponer que tengo que tomar la transformada inversa de Fourier de ambos lados. ¿Cómo puedo hacer esto exactamente?

Answer 1

Quieres utilizar la propiedad de convolución de Fourier. Tienes que

$$\hat{y} = C e^{-\alpha k^2} \cdot \left(\frac{1}{\beta + \gamma k^2}\right) = \hat{f} \hat{g}$$ para varios números $C,\alpha, \beta, \gamma$ que parece que has resuelto. Puedes hacer la transformación inversa de Fourier de cada uno de los factores de lo anterior, por lo que entonces se deduce que $y = f \ast g$ , donde $\ast$ indica la convolución. Dependiendo de la transformada de Fourier que estés utilizando, podría ser $y = \sqrt{2 \pi}^{-1} f \ast g$ . Sólo hay que asegurarse de utilizar una convención consistente para la transformada de Fourier.

Answer 2

Obsérvese que el FT inverso de $(4-k^2)^{-1}$ es $(1/4) \sin{(2 x)} \mathrm{sgn}(x)$ , donde $\mathrm{sgn}(x)$ es la función de signo, o $|x|/x$ cuando $x \ne 0$ .

Por el teorema de convolución:

$$\begin{align}y(x) &= \frac{1}{2 \pi} \frac{1}{4} \int_{-\infty}^{\infty} dx' \: e^{-(x-x')^2} \sin{(2 x)} \mathrm{sgn}(x)\\ &= \frac{1}{8 \pi}\left [ -\int_{-\infty}^{0} dx' \: e^{-(x-x')^2} \sin{(2 x)} + \int_{0}^{\infty} dx' \: e^{-(x-x')^2} \sin{(2 x)}\right ]\\ &= \frac{1}{4 \pi} \Re{[F(1+i x)]} \\\end{align}$$

donde $$F(z) = e^{-z^2} \int_0^z dt e^{t^2}$$

es La integral de Dawson .