Littlewood-Paley teorema en un anillo

Question

Supongamos que una función suave $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ satisface $$\text{supp}~\hat{f}\subset \{\xi:1<|\xi|<2\}$$ and set functions $f_k$ by saying $$\hat{f_k}:=\hat{f}~\chi_{\{1+2^{-k}<|\xi|<1+2^{-(k-1)}\}}.$$ (You may consider the function $\chi$ como fluido de corte de las funciones.) Entonces, es posible conseguir la desigualdad \begin{equation*} ||f||_q\lesssim||(\sum_{k\geq1}|f_k|^2)^{\frac{1}{2}}||_q \end{ecuación*} para $~q=4$?

Answer 1

Littlewood-Paley teoría no es posible en un anillo. Si se define una diádica anillo \begin{equation*} \{ 2^j\leq |\xi|\leq 2^{j+1}\} \end{ecuación*} en lugar de diádica intervalos, estás en problemas al intentar la $L^p$ extensión asociada con Littlewood-Paley teoría. Como comenzar la partición de la unidad y aplicar el teorema de Plancherel para dar la $L^2$ isometría entre la función de $f$, y el de Littlewood-Paley operador de $f$, el vector de valores de la extensión de la desigualdad de falla debido a que la función característica de un $n-$dimensiones de la bola (por lo tanto, un anillo), $n\geq 2$ no es un $L^p-$multiplicador de las $p\neq 2$. Este resultado se debe a Charles Fefferman.