Cómo probar que si un primer divide un Número de Fermat, a continuación,$p=k\cdot 2^{n+2}+1$?

Question

Si un primer $p$ se divide en un Número de Fermat, a continuación,$p=k\cdot 2^{n+2}+1$?

¿Alguien sabe de un simple/primaria de la prueba?

Answer 1

Si $p\mid 2^{2^n}+1$,$2^{2^n}\equiv -1\pmod p$. Junto con el corolario evidente $2^{2^{n+1}}\equiv 1\pmod p$ esto implica que el orden de los residuos de la clase de $2$ en el grupo multiplicativo $\mathbf{Z}_p^*$ es igual a $2^{n+1}$. Esto ya implica que $2^{n+1}\mid p-1$, debido a que el orden del grupo $\mathbf{Z}_p^*$ es igual a $p-1$, y por Lagrange del teorema de la orden de cualquier elemento es un factor del orden del grupo.

Los dos restantes viene del hecho de que en este punto sabemos $p\equiv 1\pmod 8$ (guardar el par más pequeño de los valores de $n$ que no son interesantes aquí). Esto nos dice que $2$ sí es un residuo cuadrático módulo $p$. Por lo tanto, $2\equiv a^2\pmod p$ para algunos entero $a$. El orden de $a$ en el grupo $\mathbf{Z}_p^*$ es lo $2^{n+2}$. El reclamo sigue de esto (del teorema de Lagrange).