Dos problemas relacionados con la continuidad de una métrica del libro de topología de Munkres

Question

Sea $X$ un espacio métrico con métrica $d$.

• Demuestra que $d:X\times X\to \mathbb{R}$ es continua.
• Sea $X^\prime$ un espacio con el mismo conjunto subyacente que $X$. Demuestra que si $d:X^\prime\times X^\prime \to \mathbb{R}$ es continua entonces la topología de $X^\prime$ es más fina que la topología de $X$.

Mi intento: para el primero, tomamos algún intervalo $(a,b)\subset \mathbb{R}$. Debemos mostrar que $A=d^{-1}\left((a,b)\right)$ es abierto. Entonces, elige cualquier $(x,y)\in A$. Necesitamos demostrar que $(x,y)\in U\times V\subseteq d^{-1}((a,b))$ donde $U,V$ son abiertos en $X$. Aquí es donde estoy atascado. También intenté usar la idea usual de $\epsilon-\delta$ pero para eso necesitamos tener tanto $X\times X$ como $\mathbb R$ como un espacio métrico. Incluso si lo primero es posible usando la métrica uniforme, no podemos hacer eso en $\mathbb R$.

Para el segundo, queremos encontrar una base de la topología de $X^\prime$, digamos $\mathcal T$ con elementos $\mathcal{B}_\alpha$ para $\alpha\in J$. Luego tomamos cualquier elemento de la base $B_d(x,\epsilon)$ de $X$. Sea $y\in B_d(x,\epsilon)$. Queremos que $y\in \mathcal{B}_\alpha\subseteq B_d(x,\epsilon)$. Pero, ¿cómo proceder después de eso? Cualquier ayuda será apreciada. Muchas gracias.

Answer 1

Algunos consejos:

• Utiliza la siguiente definición de continuidad: una función $f:A\to B$ es continua en $x\in A$ si para cada entorno abierto $U\subseteq B$ de $f(x)$ existe un entorno abierto $V\subseteq A$ de $x$ tal que $f(V)\subseteq U$. Por lo tanto, en este caso, comienza fijando $(x,y)\in X\times X$ y deja que $B(d(x,y),r)\subseteq \mathbb R$ sea un disco abierto centrado en $d(x,y)$ con radio $r>0$. Muestra que para todo $(u,v)\in B(x,\frac{r}{2})\times B(x,\frac{r}{2})$ tenemos $$|d(u,v)-d(x,y)|

• Fija $x\in X$ y observa que $y\mapsto d(x,y)$ es una función continua $X'\to \mathbb R$. Luego expresa cada bola $B_{d}(x,r)=\{y\in X:d(x,y)