Sea L un funcional lineal continuo sobre un espacio lineal métrico X. Demostrar: L(S) es un conjunto acotado para cualquier subconjunto acotado S de X. La métrica es invariante de traslación.
Respuestas
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Jim Petkus
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Tenga en cuenta que esto es cierto en general para $L:X\rightarrow Y$ lineal continua entre dos espacios lineales métricos.
Pistas:
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fijar una bola abierta centrada en $0$ (el de radio $1$ por ejemplo)
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utilizar la continuidad en $0$ .
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demostrar que $L$ está acotada en alguna bola abierta $B$ centrado en $0$ .
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utilizar que para todo conjunto acotado $S$ , hay $\rho>0$ tal que $S\subset \rho B$ .
Berci
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42654
Consideremos la imagen inversa de cualquier vecindad abierta acotada $W$ de $0$ en el espacio objetivo (sea $\Bbb R$ o $\Bbb C$ o cualquier otra cosa). Su preimagen, $L^{-1}(W)$ es una vecindad abierta de $0\in X$ por lo que contiene un bola $B(\varepsilon)$ alrededor de $0$ con un radio de unos $\ \varepsilon >0$ . Arreglemos esto $\varepsilon$ .
Ahora, si tenemos cualquier conjunto acotado $S\subseteq X$ entonces existe una bola que la contiene, digamos con radio $r_0>0$ y el punto medio $Q$ entonces $\ S\subseteq B(r)\ $ donde $\ r=r_0+d(0,Q)$ .
Ahora imagina los mapeos continuos $f_\lambda:X\to X,\ \ v\mapsto \lambda\cdot v$ . Si $\lambda\neq 0$ es un homeomorfismo, que mapea cualquier bola $B(\rho)$ (alrededor de $0$ ) a un conjunto abierto, que también contiene una bola alrededor de $0$ , digamos que con radio $f(\lambda,\rho)>0$ . Así que $B(\lambda\cdot\rho)=f_\lambda(B(\rho))\supseteq B(f(\lambda,\rho))$ ...
Entonces, $L(S)\subseteq L(B(r))= L(f_{\frac r\varepsilon}( B(\varepsilon))) \subseteq f(\displaystyle\frac r\varepsilon)\cdot W $ delimitado.
Actualización: Hmm, en esta generalidad es no es cierto . Sea $X=\Bbb R$ con un acotado métrica, por ejemplo $d'(x,y):=\displaystyle\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} <1$ y que $L$ sea la identidad $X\to\Bbb R$ . Entonces todo el $X$ es acotado pero su imagen no está acotada.
