Deje que$X$ y$Y$ sean espacios topológicos, y$f:X\to Y$ un mapa continuo. ¿Es verdad lo siguiente?
Si$A$ y$B$ son dos subespacios homeomorfos de$Y,$ entonces$f^{-1}(A)$ y$f^{-1}(B)$ son subespacios homeomorfos de$X$.
Respuestas
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Esto es falso.
Deje $C$ $D$ ser cualquiera de los dos no homeomórficos espacios topológicos, vamos a $X=C\coprod D$ con la desunión de la unión de la topología, vamos a $Y=\{0,1\}$ con la topología discreta, vamos a $A=\{0\}$$B=\{1\}$, y definir la función $f:X\to Y$ por $$f(x)=\begin{cases}0\text{ if }x\in C,\\ 1\text{ if }x\in D.\end{cases}$$ A continuación, $f$ es continua, y $A$ es homeomórficos a $B$, pero $f^{-1}(A)=C$ no es homeomórficos a $f^{-1}(B)=D$.
Esto es falso, incluso si se supone que $Y=X/G$ donde $G$ es un grupo topológico actuando continuamente en $X$, e $f:X\to Y$ es el cociente mapa. Por ejemplo:
Deje $D=\{0,1\}$ con la topología discreta, vamos a $C$ ser cualquier no-espacio vacío, deje $X=C\coprod D$ con la inconexión de la unión de la topología, que el grupo $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1}\}$ con la topología discreta actuar en $X$ por $$\begin{align*}\overline{0}\cdot x&=x\text{ for all }x\in X,\\\\ \overline{1}\cdot x&=\begin{cases}x\text{ if }x\in C,\\ 0\text{ if }x=1,\\1\text{ if }x=0,\end{casos}\end{align*}$$ que es continuo. A continuación, $X/G\cong C\coprod\{\star\}$ donde $\star$ representa la órbita $D$ de la acción de la $G$. Para cualquier $c\in C$, $A=\{c\}$ $B=\{\star\}$ son homeomórficos, sino $f^{-1}(A)=\{c\}$ $f^{-1}(B)=D$ no homeomórficos.
sewo
Puntos
58
Como contraejemplo aún más simple, tome$f:\mathbb R\to\mathbb R$ con la topología habitual:$$f(x)= x^2$ $ y tome$A=[1,2]$ y$B=[0,1]$.
$A$ y$B$ son obviamente homeomorfos, pero$f^{-1}(A)$ consiste en dos intervalos separados$[-\sqrt 2,-1]\cup[1,\sqrt 2]$ pero$f^{-1}(B)$ es el intervalo único$[-1,1]$. Como una de las imágenes previas está conectada pero la otra no, no pueden ser homeomorfas.
